Bài 102120

Question

$a/$Cho $x,y$ thỏa mãn: $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} =1$ $\left ( 1 \right )$
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}=1$ $\left ( 2 \right )$
$2/$Từ đẳng thức $\left ( 2 \right )$ có thể suy ra đẳng thức $\left ( 1 \right )$ được hay không?

score 0 · Answer 1

$a/$Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
$1=\left ( x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y \right )^{2}\leq \left ( x^{2}+1-x^{2} \right ).\left (1- y^{2}+y^{2} \right )=1$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{y}$
$\Rightarrow \left ( xy \right )^{2}=\left ( 1-x^{2} \right )\left ( 1-y^{2} \right )=1-\left ( x^{2}+y^{2} \right )+\left ( xy \right )^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow $ (ĐPCM)
$b/$ Từ $\left ( 2 \right )$ không thể suy ra $\left ( 1 \right )$ được,vì: chẳng hạn chọn $\left ( x,y \right )=\left ( 0,-1 \right )$ thỏa mãn $\left ( 2 \right )$, nhưng không thỏa mãn $\left ( 1 \right )$.
Bài toán được chứng minh.

Bài 102120

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102120

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan