Bài 102097

Question

Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ $ ( \sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^{124}. $

score 0 · Answer 1

Trong khai triển nhị thức $ {\left( {\sqrt 3 - \sqrt[4]{5}} \right)^{124}} $ số hạng thứ $ \left( {k + 1} \right) $ với $ \left( {0 \le k \le 124} \right) $ là: $ {T_{k + 1}} = C_{124}^k{\left( {\sqrt 3 } \right)^{124 - k}}{\left( {\sqrt[4]{5}} \right)^k} = C_{124}^k{3^{\frac{{124 - k}}{2}}}{5^{\frac{k}{4}}} $
$ {T_{k + 1}} $ là 1 số hữu tỉ khi và chỉ khi các số mũ $ \frac{{124 - k}}{2} $ và $ \frac{k}{4} $ là những số tự nhiên.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {124 - k} \right) \vdots 2 ,\\
k \vdots 4 & & \left( \right)
\end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow k = 4\,\,\, $ với $ 0 \le k \le 124 $
$ \Leftrightarrow 0 \le 4t \le 124 \Leftrightarrow 0 \le t \le 31,\,\,t \in N $ .
Vậy có 32 giá trị của t, tức là có 32 giá trị k thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tóm lại: trong khai triển $ {\left( {\sqrt 3 - \sqrt[4]{5}} \right)^{124}} $ có 32 số hạng hữu tỉ.

Bài 102097

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102097

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan