Bài 102077

Question

Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn:

$sinA+sinC=3sinB$
CMR

${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết và theo định lý hàm số sin, ta có:

$a + c = 3b \Leftrightarrow a + b + c = 4b \Leftrightarrow p = 2b (1)$
Ta có :

${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{1 - \cos A}}{2} = \frac{{1 - \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{2} = \frac{{{a^2} - {{(b - c)}^2}}}{{4bc}} = \frac{{(p - b)(p - c)}}{{bc}} (2)$
Từ

$(1)(2)$ ta có

${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{b(2b - c)}}{{bc}} = \frac{{2b - c}}{c}$
Làm tương tự có

${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{2b - a}}{a}$
Vì vậy

${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{2b - c}}{c} + \frac{{2b - a}}{a} \ge \frac{2}{3}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2ab - ac + 2bc - ac}}{{ac}} \ge \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow 3b(a + c) \ge 4ac\\ \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac \end{array}$

$\Leftrightarrow {(a - c)^2} \ge 0 (3)$
Vì

$(3)$ đúng suy ra (đpcm)
Dấu

$“=”$ xảy ra khi

$a = c = \frac{3}{2}b$
Nhận xét :

$1/$ Vì

$\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow a + c = 3b$ ,nên các lớp tam giác thỏa mãn điều kiện là không rỗng.Ví dụ như tam giác có

$a=5,b=3,c=4$ thỏa mãn điều kiện :

$2/$ Để ý rằng

${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2 - (\cos A + \cos C) \ge \frac{4}{3} \Leftrightarrow \cos A + \cos C \le \frac{2}{3}$
Kết hợp với bất đẳng thức kinh điển,trong mọi tam giác ta có:

$\cos A + \cos B + \cos C > 1$
Suy ra hệ quả sau đây:

$\sin A + \sin C = 3\sin B \Leftrightarrow \sin B > \frac{1}{3}$

$3/$ Ta có bài toán tổng quát sau đây :
Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức :

$\sin A + \sin C = k\sin B ,k \in N,k \ge 2$ )
CMR:

${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k - 1}}{k}$
Thật vậy, từ :

$\sin A + \sin C = k\sin B$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + c = kb\\ \Rightarrow a + b + c = b(k + 1)\\ \Rightarrow p = \frac{{b(k + 1)}}{2} \end{array}$
Như vậy

${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{(p - b)(p - c)}}{{bc}} = \frac{{(\frac{{k + 1}}{2} - 1)b(\frac{{k + 1}}{2}b - c)}}{{bc}} = \frac{{(k - 1)\left[ {(k + 1)b - 2c} \right]}}{{4c}}$
Tương tự

${\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{{(k - 1)\left[ {(k + 1)b - 2a} \right]}}{{4a}}$
Do đó

${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{{k - 1}}{k} (*)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{k - 1}}{4}\left[ {(k + 1)ab - 2ac + (k + 1)bc - 2ac} \right] \ge \frac{{k - 1}}{k}ac\\ \Leftrightarrow (k + 1)b(a + c) - 4ac \ge \frac{{4ac}}{k}\\ \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{k}{(a + c)^2} \ge 4ac(1 + \frac{1}{k})\\ \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac \end{array}$

$\Leftrightarrow {(a - c)^2} \ge 0 (**)$
Vì

$(**)$ đúng nên

$(*)$ đúng và đó là (đpcm)

$4/$ Ta có bài toán tương tự sau:Cho tam giác

$ABC$ có

$\sin B + \sin C = \sqrt 3$
CMR:

$\frac{{\sin 2A}}{{\sin 3A}} \ge \frac{2}{3}$
Lời giải xin dành cho bạn đọc.

Bài 102077

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102077

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan