Bài 102043

Question

Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $
CMR: $4(a+b)\ \le 5c$

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết suy ra $A = \frac{\pi }{2} - \frac{{3B}}{2} \Rightarrow C = \frac{\pi }{2} + \frac{B}{2}$
Vì thế $\sin A = c{\rm{os}}\frac{{3B}}{2},\sin C = c{\rm{os}}\frac{B}{2}$
Theo định lý hàm số sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$
Hay $\frac{a}{{4\cos \frac{{3B}}{2} - 3\cos \frac{B}{2}}} = \frac{b}{{2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = \frac{c}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} (1)$

Từ $(1)$ và theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
                      $\begin{array}{l}
\frac{{a + b}}{{4\cos \frac{{3B}}{2} - 3\cos \frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = \frac{c}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}\\
\Rightarrow c = \frac{{a + b}}{{4{{\cos }^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} - 3}}\\
\Rightarrow a + b = c( - 4{\sin ^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} + 1)(2)
\end{array}$
Dễ thấy
             $ - 4{\sin ^2}\frac{B}{2} + 2\sin \frac{B}{2} + 1 = \frac{5}{4} - {(2\sin \frac{B}{2} - \frac{1}{2})^2} \le \frac{5}{4}     (3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra
                   $4(a+b) \le 5c$
Đó là $dpcm$. Dấu $“=”$ xảy ra khi $A = \frac{\pi }{2} - 3\arcsin \frac{1}{4},B = 2\arcsin \frac{1}{4},C = \frac{\pi }{2} + \arcsin \frac{1}{4}$
Nhận xét : Điều ngược lại nói chung không đúng,tức là nếu có tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $4(a+b)\leq 5c$ thì chưa chắc có $2A + 3B = \pi $
Thật vậy, chẳng hạn xét tam giác $ABC$ cân đỉnh $C$ có $a = b = \frac{5}{8}c$
Khi đó tam giác này có $4(a+b)\leq 5c$
Ta có $\cos A = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\frac{c}{2}}}{{\frac{{5c}}{8}}} = \frac{4}{5}$
Vì $A=B\Rightarrow 2A + 3B = 5A$
Ta có$c{\rm{os}}\frac{\pi }{5} = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{{10}} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow A\neq \frac{\pi }{5}(\cos A = \frac{4}{5})\\
\Rightarrow 2A + 3B\neq \pi
\end{array}$
Nhận xét được chứng minh.

Bài 102043

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102043

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan