Bài 101986

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : $tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} = 1$
CMR : $\frac{3}{4} \le tan\frac{C}{2} < 1$

score 0 · Answer 1

Ta có $tan\frac{C}{2} = \cot(\frac{{A + B}}{2}) = \frac{{1 - tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}}{{tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2}}} = 1 + tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2} < 1$
( do $tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} = 1 và tan\frac{A}{2} > 0,tan\frac{B}{2} > 0$)
Theo bất đẳng thức Cô-si thì
$1 = tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} \ge 2\sqrt {tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}} \Rightarrow tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2} \le \frac{1}{4}$
Lập luận tương tự có $tan\frac{C}{2} \ge \frac{3}{4}$
Kết hợp lại ta có $\frac{3}{4} \le tan\frac{C}{2} < 1(dpcm)$
Dấu “=” xảy ra khi $tan\frac{A}{2} = tan\frac{B}{2} = \frac{1}{2}$
Nhận xét:
$1/$ Rõ ràng có vô số tam giác thỏa mãn $tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} = 1$
Thật vậy, chẳng hạn xét tam giác $ABC$ có $tan\frac{A}{2} = \frac{1}{3}, tan\frac{B}{2} = \frac{2}{3}$
$ \Rightarrow A = 2arctan\frac{1}{3};B = 2arctan\frac{2}{3},C = \pi - 2({\rm{ar}}ctan\frac{1}{3} + {\rm{arctan}}\frac{2}{3})$
Chú ý là do $tan\frac{\pi }{4} = 1 \Rightarrow 0 < \frac{A}{2} < \frac{\pi }{4};0 < \frac{B}{2} < \frac{\pi }{4}$
$ \Rightarrow 0 < A < \frac{\pi }{4},0 < B < \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < C < \pi $
Và $A + B + C = \pi $
$2/$ Mệnh đề đảo dĩ nhiên không đúng. Vì từ $\frac{3}{4} \le tan\frac{C}{2} < 1$ nói chung không thể suy ra $tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} = 1$

Bài 101986

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101986

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan