Bài 101984

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $a < \frac{1}{2}(b + c)$
CMR ta cũng có: $A < \frac{1}{2}(B + C)$.
Mệnh đề đảo có đúng không ?

score 0 · Answer 1

$1/$ Từ $a < \frac{1}{2}(b + c)$, theo định lý hàm số sin có:
     $\sin A < \frac{1}{2}(\sin B + \sin C)$
Do $\frac{1}{2}(\sin B + \sin C) \le \sin \frac{{B + C}}{2} \Rightarrow \sin A < \sin \frac{{B + C}}{2}            (1)$
DO $a < \frac{1}{2}(b + c)$ nên $a$ không phải là cạnh lớn nhất nên $A$ nhọn
Vì $\frac{{B + C}}{2}$ cũng nhọn nên từ $(1)$ suy ra $A < \frac{1}{2}(B + C)(dpcm)$
$2/$ Đảo lại,giả sử $A < \frac{1}{2}(B + C)$. Với $\alpha > 0$ (sẽ chọn sau)
Đặt $A = {60^0} - \alpha ,C = 60 + \alpha ,B = {90^0}$ khi đó ta có $A < \frac{1}{2}(B + C)$
Ta có $\sin (A + \alpha ) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin Ac{\rm{os}}\alpha + \sin \alpha \cos A = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Do $c{\rm{os}}\alpha < 1,\sin \alpha < \alpha $
$ \Rightarrow \sin A + \alpha > \sin Ac{\rm{os}}\alpha + \sin \alpha \cos A \Leftrightarrow \sin A > \frac{{\sqrt 3 }}{2} (1)$
Lại có $\sin C = \sin ({30^0} + \alpha ) = \frac{1}{2}c{\rm{os}}\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha ,\sin B = 1$
     $ \Rightarrow \sin B + \sin C = 1 + \frac{1}{2}c{\rm{os}}\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha < \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\alpha < \frac{3}{2} + \alpha (2)(do \alpha > 0)$
Xét bất phương trình     $\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \alpha > \frac{1}{2}(3 + \alpha ),a > 0$
Ta có $0 < \alpha < \frac{2}{3}(\frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{3}{4})                                     (3)$
Vậy nếu chọn $\alpha $ thỏa mãn $(3)$ thì từ $(1)(2)$ suy ra
       $\sin A > \frac{1}{2}(\sin B + \sin C) \Rightarrow a > \frac{1}{2}(b + c)$
Như thế từ $A < \frac{1}{2}(B + C)$ lại có $ a> \frac{1}{2}(b + c)$
Nói chung mệnh đề đảo không đúng

Bài 101984

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101984

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan