Bài 101978

Question

Cho tam giác $ABC$, có $A = {60^0}$. Gọi $O ,H$ tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ấy. Đường thẳng $OH$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$
$1/$ CMR ${C_{AEF}} = b + c$, ở đây ${C_{AEF}}$ là chu vi tam giác $AEF$
$2/$ CMR $OH = \left| {b - c} \right|$

score 0 · Answer 1

$1/$ Xét khi tam giác $ABC$ nhọn (giả thiết $AC>AB$)

     Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Dễ thấy $H$ và $O$ đối xứng nhau qua trục $AIJ$. Từ đó suy ra: $AH=AO=R$
Và cũng thấy ngay tam giác $AEF$ là tam giác đều
Ta có:
${60^0}$$ = A - ( + )$
Do tính đối xứng nên :
$\begin{array}{l}
= = {90^0} - B\\
\Rightarrow = A - 2({90^0} - B)
\end{array}$
$\begin{array}{l}
= {60^0} - {180^0} + 2B\\
= 2B - (B + C) = B - C
\end{array}$
Giả sử thì trong tam giác $AHN$, ta có
$AN = AH\cos = R\cos \frac{{}}{2} = R\cos \frac{{B - C}}{2}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow AE = {\rm{EF}} = {\rm{AF}} = \frac{{2AN\sqrt 3 }}{3} = \frac{2}{3}\sqrt 3 R\cos \frac{{B - C}}{2}\\
\Rightarrow {C_{AEF}} = 3AE = 2\sqrt 3 R\cos \frac{{B - C}}{2}
\end{array}$
Do $A = {60^0} \Rightarrow B + C = {120^0} \Rightarrow 2\sin \frac{{B + C}}{2} = \sqrt 3 $,do đó :
${C_{AEF}} = 4R\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 2R(\sin B + \sin C)$
Theo định lý hàm số sin suy ra ${C_{AEF}} = b + c \Rightarrow $ (đpcm)
$2/$ Khi tam giác $ABC$ có 1 góc tù, thì chúng minh hoàn toàn tương tự và xin dành cho bạn đọc
Theo đường thẳng Eule, thì mọi tam giác $ABC$ ta có $O,H,G$ thẳng hàng và
Vì trong mọi tam giác ta cũng có :
(Xem trong cuốn LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP tập $I$ ) nên đi đến
Vì $A = {60^0} \Rightarrow a = 2R\sin A = \sqrt 3 R$
Thay vào $(2$) t được
$O{H^2} = 2{a^2} - {b^2} - {c^2}$
$\begin{array}{l}
= 2({b^2} + {c^2} - bc\cos A) - {b^2} - {c^2}\\
= {b^2} + {c^2} - 2bc\\
= {(b - c)^2}
\end{array}$
                Suy ra (đpcm)
Nhận xét :
$1/$ Bài toán trên cho ta thêm $1$ tính chất của tam giác có $1$ góc bằng
    Xin nhắc lại ta có rất nhiều hệ thức tương đương với sự kiện ta giác có 1 góc bằng ,vì thế nếu kết hợp chúng lại sẽ dẫn đến nhiều bài tập lý thú khác
$2/$ Ở đây xin nhắc lại kiến thức quan trọng trong hình học phẳng: $H$ và $O$ đối xứng với nhau qua trục $AIJ$ với $I,J$ là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc $A$

Bài 101978

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101978

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan