Bài 101974

Question

Cho tam giác ABC, gọi ${A_1},{B_1},{C_1}$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$ tương ứng. CMR: ${A_1},{B_1},{C_1}$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C = \frac{{ - 3}}{8}$

score 0 · Answer 1

Vẽ $3$ chiều cao $AA’,BB’,CC’$
Đặt $BC=a,AC=b,AB=c$,$\overrightarrow {AB} = m,\overrightarrow {AC} = n$
Khi đó theo phép tính véctơ, ta có
$\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow m + \frac{{c\cos B}}{a}(\overrightarrow n - \overrightarrow m ) = \frac{{c\cos B}}{a}\overrightarrow n = \frac{{b\cos C}}{a}\overrightarrow m (1)$
Suy ra :
$\overrightarrow {A{A_1}} = 2\overrightarrow {AA'} = \frac{{2c\cos B}}{a}\overrightarrow n + \frac{{2b\cos C}}{a}\overrightarrow m $
Ta lại có $\overrightarrow {AB'} = \frac{{c\cos A}}{b}\overrightarrow n \Rightarrow \overrightarrow {BB'} = \frac{{c\cos A}}{b}\overrightarrow n - \overrightarrow m $
Suy ra $\overrightarrow {A{B_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BB} ' = \frac{{2c\cos A}}{b}\overrightarrow n - \overrightarrow m (2)$
Tương tự ta có $\overrightarrow {A{C_1}} = \frac{{2b\cos A}}{c}\overrightarrow m - \overrightarrow {n} (3) $
Từ $(1)(2)(3)$ suy ra
$\begin{array}{l}
\left( {\frac{{2c\cos B}}{a} - \frac{{2c\cos A}}{b}} \right)\left( {\frac{{2b\cos C}}{a} - \frac{{2b\cos A}}{c}} \right) = \left( {\frac{{2b\cos A}}{a} + 1} \right)\left( {\frac{{2c\cos B}}{a} + 1} \right)\\
\left( {\frac{{2c\cos B}}{a} + 1} \right) + \left( {\frac{{2b\cos C}}{a} - \frac{{2b\cos A}}{c}} \right)
\end{array}$
Vậy ${A_1},{B_1},{C_1}$ thẳng hàng$ \Leftrightarrow \overrightarrow {{B_1}{A_1}} ,\overrightarrow {{C_1}{A_1}} $ cùng phương
$ \Leftrightarrow \left( {\frac{{2c\cos B}}{a} - \frac{{2c\cos A}}{b}} \right)\left( {\frac{{2b\cos C}}{a} - \frac{{2b\cos A}}{c}} \right) = \left( {\frac{{2b\cos A}}{a} + 1} \right)\left( {\frac{{2c\cos B}}{a} + 1} \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4(b\cos B - a\cos A)(c\cos C - a\cos A) = (2b\cos C + a)(2c\cos B + a)\\
\Leftrightarrow - 4a\cos A(b\cos B + c\cos C) + 4{a^2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A = 2a(b\cos C + c\cos B) + {a^2}\\
\Leftrightarrow - 2\cos A(\sin 2B + \sin 2C) + 4\sin Ac{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A = 3\sin C
\end{array}$
(định lý hàm số sin)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 4\cos A\sin Ac{\rm{os}}(B - C) + 4\sin Ac{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A = 3\sin A\\
\Leftrightarrow 4\cos A(c{\rm{os}}(B - C) - \cos A) = - 3\\
\Leftrightarrow 4\cos A(c{\rm{os}}(B - C) - c{\rm{os}}(B + C)) = - 3\\
\Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C = \frac{{ - 3}}{8}
\end{array}$
Chú ý biểu diễn véctơ trong lời giải trên vẫn còn hiệu lực khi tam giác $ABC$ không nhọn ./.

Bài 101974

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101974

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan