Bài 101953

Question

Cho tam giác $ABC$ với $2$ phân giác $BM,CN,I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. CMR:$ANIM $ là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi hệ thức sau thỏa mãn:
$\frac{{{a^3} - {b^3} - {c^3}}}{{a - b - c}} = {a^2}$

score 0 · Answer 1

Do $BM,CN$ là phân giác góc $B,C$ nên BM x CN= I $(1)$
Ta có :
                    $\begin{array}{l}
\frac{{{a^3} - {b^3} - {c^3}}}{{a - b - c}} = {a^2}\\
\Leftrightarrow {a^3} - ({b^3} + {c^3}) = {a^3} - {a^2}(b + c)\\
\Leftrightarrow {b^3} + {c^3} = {a^3}(b + c)\\
\Leftrightarrow {b^2} - bc + {c^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\
\Leftrightarrow \cos A = \frac{1}{2} \Leftrightarrow A = {60^0}
\end{array}$
                   $ \Leftrightarrow B + C = {120^0}                                                                (2)$
Từ $(1)(2)$ suy ra $ANIM$ nội tiếp khi và chỉ khi $  \frac{{{a^3} - {b^3} - {c^3}}}{{a - b - c}} = {a^2}\\ $
Đó là (đpcm)
Nhận xét :
$1/$ Từ cách giải bài toán trên,kết hợp với bài $223$, ta có kết quả sau :
Cho tam giác $ABC$ với $3$ phân giác trong $AM,MB,CP,I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Để có ít nhất $1$ trong $3$ tứ giác $APIN,BPIM,CMIN$ là tứ giác nội tiếp,điều kiện cần và đủ là thỏa mãn hệ thức sau:
             $1)$$\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} = \sqrt 3 $
             $2)$$\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = 0$
$2$ Ta biết rằng trong mọi tam giác $ABC$ thì
           ${r_a} - r = p.tan\frac{A}{2} - (p - a)tan\frac{A}{2}$
                   $\begin{array}{l}
= atan\frac{A}{2} = 2R.2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}}\\
= 4R{\sin ^2}\frac{A}{2}
\end{array}$
Vì thế trong tam giác $ABC$,ta có
        $A = {60^0} \Leftrightarrow 4R{\sin ^2}\frac{A}{2} = R \Leftrightarrow {r_a} = R + r$
Vì thế ta có thể phát biểu bài toán đã cho như sau: $ANIM$ là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi     ${r_a} = R + r$
$3/$ Cũng vì trong mọi tam giác $ABC$ thì $r + {r_b} + {r_c} - {r_a} = 4R\cos $($\widehat{ACM}$ dễ dàng)
Vì thế trong tam giác $ABC$ , ta có:
                  $A = {60^0} \Leftrightarrow r + {r_b} + {r_c} = {r_a} + 2R$
Tóm lại là ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng : $ANIM$ là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi $r + {r_b} + {r_c} = {r_a} + 2R$

Bài 101953

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101953

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan