Bài 101928

Question

Cho tam giác $ABC$. CMR : phân giác trong $AD$, trung tuyến $BM$, đường cao $CH$ đồng quy khi và chỉ khi hệ thức sau thỏa mãn: $\cos A = \frac{{\sin C}}{{\sin B + \sin C}}$

score 0 · Answer 1

Xét tam giác $ABC$ thỏa mãn đề bài,theo định lý SEVA,ta có :
$AD,BM,CH$ đồng quy $ \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{DC}}\frac{{AB}}{{AC}}\frac{{AH}}{{BH}} = 1$
                                    $ \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{DC}}\frac{{AH}}{{BH}} = 1$                        $(1)$
                          (do $CM=MA$)
Vì $AD$ là phân giác nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b} = \frac{{\sin C}}{{\sin B}}$          $(2)$
Do $CH$ là đường cao nên $\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HC\cot A}}{{HC\cot B}} = \frac{{tanB}}{{tanA}}$       $(3)$
Từ $(1)(2)(3)$ suy ra
$AD,BM,CH$ đồng quy $ \Leftrightarrow \frac{{\sin C}}{{\sin B}}\frac{{tanB}}{{tanA}} = 1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin C\cos A = \sin A\cos B\\
\Leftrightarrow \sin C\cos A + \sin B\cos A = \sin A\cos B + \sin B\cos A\\
\Leftrightarrow \cos A(\sin B + \sin C) = \sin (A + B)\\
\Leftrightarrow \cos A = \frac{{\sin C}}{{\sin B + \sin C}}
\end{array}$
Đó là (đpcm)
Nhận xét :

$1/$ Rõ ràng nếu tam giác $ABC$ đều thì hiển nhiên $AD,BM,CH$ đồng quy
$2/$ Bây giờ ta xem ngoài tam giác đều,còn có tam giác nào thỏa mãn tính chất hình học này không
Xét lớp tam giác vuông tại $C$ mà thỏa mãn hệ thức :
                  $\cos A = \frac{{\sin C}}{{\sin B + \sin C}}$          $(*)$

Khi đó $sinC=1$ và $sinB=cosA$, nên từ $(*)$ suy ra :
                               $\begin{array}{l}
\cos A(1 + \cos A) = 1\\
\Rightarrow {\cos ^2}A + \cos A + 1 = 0\\
\Rightarrow \cos A = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}
\end{array}$
Từ bài tập trên suy ra lớp tam giác $ABC$ vuông tại $C$, trong đó $A = \arccos \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$ thỏa mãn tính chất nêu trên
$3/$Theo trên nếu $AD,BM,CH$ đồng quy ta có :
                              $\frac{{\sin C}}{{\sin B}}\frac{{tanB}}{{tanA}} = 1 \Rightarrow \frac{{\sin C}}{{\cos B}} = tanA$
Vì thế $\cos A = \frac{1}{{\sqrt {1 + tan^2A} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{{{\sin }^2}C}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B}}} }} = \frac{{\cos B}}{{\sqrt {{{\sin }^2}C + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B} }}$
Do đó ta có hệ quả như sau: Nếu trong tam giác $ABC$ có phân giác $AD$, trung tuyến $BM$, đường cao $CH$ đồng quy thì ta có hệ thức:$\frac{{\sin B + \sin C}}{{\sin C}} = \frac{{\cos B}}{{\sqrt {{{\sin }^2}C + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B} }}$
$4/$ Bây giờ ta chỉ xét thêm $1$ lớp tam giác thỏa mãn tính chất hình học nêu trên. Muốn thế xét lớp tam giác $ABC$ có tính chất $C=2B$ và thỏa mãn hệ thức
                                     $\cos A = \frac{{\sin C}}{{\sin B + \sin C}}$          $(*)$
Dựa vào hệ thức $sinC=sin2B=2sinBcosB$
                           $cosA=-cos(B+C)$= -cos3B= 3cosB-$4{\cos ^3}B$
Khi đó từ $(*)$ suy ra pt sau để xác định $B$ :
                          $3\cos B - 4{\cos ^3}B = \frac{{2\cos B}}{{1 + 2\cos B}}$       $(**)$
Do $C = 2B \Rightarrow 0 < B < {90^0} \Rightarrow \cos B \neq 0$.Vậy từ $(**)$ có
                         $3 - 4{\cos ^3}B = \frac{2}{{1 + 2\cos B}} \Leftrightarrow 8{\cos ^3}B + 4{\cos ^2}B - 6\cos B - 1 = 0$
Đặt $x=cosB$, xét pt bậc $3$: $f(x) = 8{x^3} + 4{x^2} - 6x - 1 = 0            (***)$
Ta có                  $f(\frac{{\sqrt 3 }}{2}) = 2 > 0;f(\frac{{\sqrt 2 }}{2}) = 1 - \sqrt 2 < 0$
Từ đó suy ra tồn tại $\frac{{\sqrt 2 }}{2} < {x_1} < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ mà $f({x_1}) = 0$
Như vậy tồn tại $B$ mà $cosB={x_1}$,tức thỏa mãn pt $(**)$
Chú ý là từ $\frac{{\sqrt 2 }}{2} < \cos B < \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {30^0} < B < {45^0} \Rightarrow {60^0} < C < {90^0} \Rightarrow 0 < A < {90^0}$
Điều đó có nghĩa là tồn tại lớp tam giác nhọn (không đều) thỏa mãn tính chất hình học nêu trên.Lớp tam giác đó có $C=2B$ trong đó $\cos B = {x_1}$
$5/$ Rõ ràng ta thấy ngay : Nếu tam giác $ABC$ cân mà thỏa mãn hệ thức
                                      $\cos A = \frac{{\sin C}}{{\sin B + \sin C}}$
Thì đó phải là tam giác đều.Từ đó suy ra lớp tam giác phần $4/$ là lớp tam giác không cân,không vuông thỏa mãn tính chất hình học đã cho

Bài 101928

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101928

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan