Giải
Ta có:
a2+b2−c2=4R2⇔4R2(sinA+sinB−sinC)=4R2
⇔sinA2+sinB2=1+sinC2
⇔1−cos2A2+1−cos2B2=1+sinC2
⇔−cos(A+B)cos(A−B=sinC2)
⇔cosCcos(A−B)=sinC2(1)
Do a2+b2−c2=4R2 ⇒c2<a2+b2⇒0<C<900⇒cosC>0
Mặt khác sin(A+B)=sinC>0, vì thế từ (1) và sau khi chia cả 2 vế chosinCcosC,ta có :
a2+b2−c2=4R2⇔cos(A−B)sin(A+B)=tanC
⇔cosAcosB+sinAsinBsinAcosB+sinBcosA=tanC(2)
Từ a2+b2−c2=4R2 ta sẽ chứng minh A≠900,B≠900
Thật vậy,nếu A=900⇒a2=4R2⇒b=c (loại vì ABC không phải tam giác vuông cân)
Tương tự suy ra B≠900.Do đó,sau khi chia cả tử và mẫu số của vế trái cua (2) cho cosAcosB,ta có :
a2+b2−c2=4R2⇔tanAtanB+1tanAtanB−1=tanC (3)
Vì tanC=−tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB−1>0 nên sau khi nhân cả 2 vế câu 3 với tanC ,ta đi đến
a2+b2−c2=4R2⇔tanAtanB+1tanAtanB−1=tan2C
Đó là đpcm.
Nhận xét:
1/ Nếu xét bài toán sau đây :tam giác ABC có đắc điểm gì nếu thỏa mãn hệ thức a2+b2−c2=4R2
Khi đó,từ bài toán trên suy ra kết quả sau: Tam giác ABC hoặc là vuông cân đỉnh A (hoặcB) hoặc thỏa mãn hệ thức tanAtanB+1tanAtanB−1=tan2C
2/ Lớp tam giác thỏa mãn hệ thức a2+b2−c2=4R2 là khác rỗng vì ít nhất có lớp tam giác vuông cân ABC (A=900) thỏa mãn
Vấn đề đặt ra là lớp tam giác vuông cân thỏa mãn hệ thức có khác rỗng hay không?
Xét lớp tam giác cân ABC đỉnh C(CB=CA).Khi đó C=1800−2A⇒sinC=sin2A.Lúc này
a2+b2−c2=4R2⇔2sinA2=1+sin22A
⇔−sin2.2A−1+2sinA2=0
−1+cos22A−cos2A−1=0
cos2A=1−√52
2cosA2−1=1−√52
cosA2=3−√54⇔cosA=12√3−5=√5−12√2
Vậy tồn tại lớp tam giác cân đỉnh C,với A=B=arccos√5−12√2
-> Liệu có lớp tam giác không cân thỏa mãn hệ thức a2+b2−c2=4R2 ?. Câu trả lời dành cho bạn đọc.