Bài 101851

Question

Chứng minh rằng: Trong tam giác $ABC$, hai hệ thức sau là tương đương: $\frac{{\sin A + \sin B}}{{\sin 2A + \sin 2B}} = \frac{{\sin C}}{{\sin 2C}}$ và $\cos A+\cos B=1$

score 1 · Answer 1

\[\frac{{\sin A + \sin B}}{{\sin 2A + \sin 2B}} = \frac{{\sin C}}{{\sin 2C}} \Leftrightarrow \frac{{\sin C}}{{\sin 2C}} = \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{\sin C}}{{2\sin C\cos C}} = \frac{{4\cos \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}}}{{4\sin A\sin B\sin C}}
\Leftrightarrow \frac{1}{{2\cos C}} = \frac{1}{{8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}\\
\Leftrightarrow \cos C = 2\sin \frac{C}{2}(c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2})\\
\Leftrightarrow \cos C = 2\cos \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} - 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\\
\Leftrightarrow \cos C = \cos A + \cos B - 1 + \cos C\\
\Leftrightarrow \cos A + \cos B = 1
\end{array}\]
Đó là $dpcm$
Nhận xét : Ta có bài toán tương tự sau :
Trong tam giác $ABC$ ,hai hệ thức sau tương đương
$c{\rm{os}}\frac{C}{2}c{\rm{os}}(A - B) + \cos C\cos \frac{{A - B}}{2} = 0$ và $sinA+sinB=1$
\[\begin{array}{l}
c{\rm{os}}\frac{C}{2}c{\rm{os}}(A - B) + \cos C\cos \frac{{A - B}}{2} = 0\\
\Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{C}{2}(2{\cos ^2}\frac{{A - B}}{2} - 1) + c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2}(2{\cos ^2}\frac{C}{2} - 1) = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos \frac{{A - B}}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}(\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{C}{2}) - (\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{C}{2}) = 0\\
\Leftrightarrow (\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{C}{2})(2\cos \frac{{A - B}}{2}\cos \frac{C}{2} - 1) = 0(1)
\end{array}\]
Vì : $0 \le \left| {\frac{{A - B}}{2}} \right| < \frac{\pi }{2};0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi }{2}$ nên :
$c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} > 0;c{\rm{os}}\frac{C}{2} > 0$ vì thế từ $(1)$ suy ra :
$c{\rm{os}}\frac{C}{2}c{\rm{os}}(A - B) + \cos C\cos \frac{{A - B}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2\cos \frac{{A - B}}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} - 1 = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} = 1\\
\Leftrightarrow \sin A + \sin B = 1
\end{array}$
Nhận xét được chứng minh

Bài 101851

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101851

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan