Bài 101833

Question

CMR : Trong tam giác $ABC$, hai hệ thức sau tương đương:
$tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} = 1$ và $a + b = c + {h_c}$

score 0 · Answer 1

Ta có : $a + b = c + {h_c}$$ \Leftrightarrow $$\frac{{a + b - c}}{{{h_c}}} = 1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{2R(\sin A + \sin B - \sin C)}}{{2R\sin A\sin B}} = 1({h_c} = a\sin B = 2R\sin A\sin B)\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} - 2\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}}}{{4\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{c{\rm{os}}\frac{C}{2}\left( {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{{A + B}}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2} + tan\frac{B}{2}}} = 1\\
\Leftrightarrow tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} = 1
\end{array}$
Đó là (đpcm)
Nhận xét :
$1/$Lớp tam giác $ABC$ thỏa mãn $tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} = 1$ là không rỗng vì có thể xét tam giác $ABC$ có $tan\frac{A}{2} = \frac{2}{3};tan\frac{B}{2} = \frac{1}{3}$
Rõ ràng $0 < \frac{A}{2} < {45^0};0 < \frac{B}{2} < {45^0} \Leftrightarrow 0 < A < {90^0};0 < B < {90^0}$
Vì thế $C = {180^0} - (A + B) > 0$ .Vậy tam giác $ABC$ có $tan\frac{A}{2} = \frac{2}{3};tan\frac{B}{2} = \frac{1}{3}$ là tồn tại thức sự
$2/$ Từ bài toán trên suy ra bài toán sau:Hãy trình bày cách dựng $1$ tam giác $ABC$ sao cho có $a + b = c + {h_c}$
Ta chỉ ra cách dựng $ 1$ trong những tam giác ấy như sau : Dựng đoạn $AB$.Trên $AB$ lấy $H$ sao cho AH=$\frac{1}{3}AB$
Từ $H$ dựng đương vuông góc với $AB$ và trên đó lấy $HC' = \frac{2}{3}AH$
Ta có : $tan\angle C'HA=\frac{2}{3}; tan\angle C'HB=\frac{1}{3}$
Dựng tia $Ax$ sao cho : $\angle xAC'=\angle C'AH'$
Dựng tia $By$ sao cho : $\angle yBC'=\angle C'BH$
\[ \Rightarrow {\rm{Ax}} \cap By = C\].Tam giác $ABC$ cần dựng thỏa mãn đề bài
Thật vậy ta có: $tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}=tan\angle C'AH+tan\angle C'BH==\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$
Theo kết quả trên suy ra $a + b = c + {h_c}$ (đpcm)
Bài toán cần dựng có vô số nghiệm hình.

Bài 101833

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101833

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan