Bài 101825

Question

Cho tam giác

$ABC$ có

${m_c} = R$ . CMR : hoặc

$C = 90^0$ hoặc

$3\tan A\tan B=-1$

score 0 · Answer 1

Từ :

${m_c} = R\Rightarrow m_c^2 = {R^2}$

$\Rightarrow \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} = {R^2}(1)$
Áp dụng định lý hàm số sin từ

$(1)$ ta có :

$2sin^2A+2sin^2B-sin^2C=1$

$\Leftrightarrow 1-cos2A+1-cos2B-sin^2C=1$

$\Leftrightarrow cos^2C-2cos(A+B)(A-B)=0$

$\Leftrightarrow cosC[cos+2cos(A-B)]=0 (2)$
Từ

$(2)$ có

$2$ khả năng sau :

$1)\,\,\, cosC=0 \Rightarrow C = {90^0}$

$2)\,\,\, cosC+2cos(A-B)=0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\cos (A - B) = - \cos C = c{\rm{os}}(A + B)\\ \Rightarrow 2\cos A\cos B + 2\sin A\sin B = \cos A\cos B - \sin A\sin B\\ \Rightarrow \cos A\cos B = - 2\sin A\sin B(2) \end{array}$
Do

$sinAsinB>0$

$\Rightarrow cosAcosB<0$ (suy ra từ

$2$ )
Vậy từ

$(2)$ suy ra

$3tanAtanB=-1$
Đó là (đpcm)
Nhận xét

$1/$ Ta phải chỉ ra rằng lớp tam giác thỏa mãn hệ thức

$3tanAtanB=-1$
Là khác rỗng. Thật vậy, xét tam giác

$ABC$ có

$tanA=-1$

$\Leftrightarrow A = {135^0}$ và tanB=

$\frac{1}{3}$ . Dựa vào hệ thức

$tanC = - {\rm{tan(A + B) = }}\frac{{tanA = tanB}}{{tanAtanB - 1}}$
Ta đi đến

$tanC = \frac{1}{2}$
Vậy với tam giác ABC với

$A = {135^0},tanB = \frac{1}{3},tanC = \frac{1}{2}$ thuộc lớp tam giác thỏa mãn hệ thức

$3tanAtanB=-1$

$2/$ Dựa vào bài toán trên,ta có

$1$ bài toán hình học phẳng lý thú sau:
Hãy dựng tam giác

$ABC$ không vuông sao cho

${m_c} = R$
Theo kết quả trên ta cần sựng tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức

$3tanAtanB=-1$
Dễ thấy

$\angle NPR=135^{0}\Leftrightarrow tan\angle NPR=-1$
Và

$\angle NPR=1/3\Rightarrow NRP$ là trong các tam giác cần tìm.Mặt khác tan

$\angle NPQ=1/2\Rightarrow \angle NPQ$ cũng là

$1$ trong các tam giác cần tìm góc
Từ đó ta có cách phát biểu bài toán như sau:
Cho tam giác vuông cân

$MNP(MN=MP)$ .Kéo dài

$MP$ bằng

$2$ đoạn

$PQ=QR=MP$ .CMR

$NP$ có độ dài bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

$NPR$ .

Bài 101825

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101825

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan