Bài 101816

Question

CMR : nếu $ABC$ là tam giác không cân, hai hệ thức sau là tương đương

$\frac{c}{b} = \frac{m_b}{m_c}$ và $2cotA=cotB+cotC$

score 0 · Answer 1

Ta có          $\frac{c}{b} = \frac{{{m_b}}}{{{m_c}}} \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{m_b^2}}{{m_c^2}}$
     $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}\\
\Leftrightarrow 2{a^2}{c^2} + 2{b^2}{c^2} - {c^4} = 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} - {b^4}\\
\Leftrightarrow {b^4} - {c^4} = 2{a^2}({b^2} - {c^2})(1)
\end{array}$
Do $b\neq c$ nên từ $(1)$ suy ra: $\frac{c}{b} = \frac{{{m_b}}}{{{m_c}}} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}$ $(2)$
Mặt khác theo định lý hàm số cosin suy rộng thì :
                            2cotA=cotB+cotC
           $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}(3)
\end{array}$
Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra$\frac{c}{b} = \frac{{{m_b}}}{{{m_c}}}$$ \Leftrightarrow $$2cotA=cotB+cotC$
Đó là (đpcm)
Nhận xét
$1/$ Việc xét bài toán trong lớp tam giác không cân là cần thiết. Thật vậy,xét trong tam giác cân $ABC (AB=AC)$ thì theo tính chất của tam giác ta có: ${m_b} = {m_c}$. Vì thế hệ thức trên là hiển nhiên
\[\frac{c}{b} = \frac{{{m_b}}}{{{m_c}}}\] không nói lên được điều gì. Vả lại khi đó kết luận của bài toán là không đúng,vì từ các tam giác cân $ABC (AB=AC)$, nói chung không suy ra hệ thức $2cotA=cotB+cotC$ (trừ khi đó là tam giác đều)
Điều đó cũng thấy được ngay ở $(1)$ vì ta không thể chia cả $2$ vế của hệ thức cho ${b^2} - {c^2} = 0$
$2/$ Bây giời ta chỉ ra rằng trong lớp tam giác không cân, lớp tam giác thỏa mãn hệ thức
                                   $2cot A=cot B+cot C$
là không trống. Thật vậy, theo trên, ta thấy
                                  $2\cot A = \cot B + \cot C \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}(*)$
Xét tam giác $ABC$ có $b = 1$,$c = 3$,$a =\sqrt{5}$.Rõ ràng tam giác này tồn tại vì chúng thỏa mãn bất đẳng thức về cạnh trong tam giác $3<\sqrt{5}+1$
Ngoài ra hiển nhiên $(*)$ thỏa mãn.

Bài 101816

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101816

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan