Bài 101714

Question

Tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{x^4} + {x^2} + 1}}dx} \)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/27/2012 9:04:33 AM

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + t + 1}} = \frac{1}{2}} } \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\frac{4}{3}d\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}}{{1 + \frac{4}{3}{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2}}}} } \)
\( = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( { \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {t + \frac{1}{2}} \right)} \right)}}{{1 + \frac{4}{3}{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 3 } {\frac{{du}}{{1 + {u^2}}} \left( {u = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {t + \frac{1}{2}} \right)} \right)} } \)
Đặt \(u = \tan v \Rightarrow I =\frac{1}{{\sqrt 3 }} \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {dv} = \boxed{\frac{\pi }{{6\sqrt 3 }}} \)

Bài 101714

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101714

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan