|
|
Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x khác 1 và $y = \frac{1}{2}\left( {x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}} \right)$.
Tổng các khoảng cách từ M đến các trục là:
$f\left( x \right) = \left| x \right| + \frac{1}{2}\left| {x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}} \right|,x \in \left( { - \infty ,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)$
$\left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{2}\left( {x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}} \right), x \in \left( {{\rm{1, + }}\infty } \right)\\
\left| x \right| - \frac{1}{2}\left( {x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}} \right) , x \in \left( { - \infty ,1} \right)
\end{array} \right.$
TH1. Xét f(x) với x > 1
Ta có $f'\left( x \right) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$= $\frac{3}{2} - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
$f’(x) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \frac{4}{3}\Leftrightarrow x =- 1 = \frac{2}{{\sqrt 3 }}, x = 1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}$
f’(x) < 0 khi $x \in \left( {1,1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)$ và f’(x) > 0 khi $x \in \left( {1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}, + \infty } \right)$
Vậy $\mathop {\min }\limits_{x > 1} f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }} - 2 + \frac{4}{{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}}} \right)$ khi $x = 1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}$
TH2. Xét f(x) với $0 \leq x < 1.$
Khi đó
$f\left( x \right) = \frac{x}{2} - \frac{2}{{x - 1}} + 1,f'\left( x \right) = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0$
Vậy $\mathop {\min }\limits_{0 \le x < 1} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2$
TH3. Xét f(x) với x < 0.
Khi đó
$f\left( x \right) = - x - \frac{1}{2}\left[ {\left( {x - 2} \right) + \frac{4}{{x - 1}}} \right]$
$f'\left( x \right) = - \frac{3}{2} + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$, $f'\left( x \right) = 0$ $\Rightarrow$ $x = 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}$
f’(x) < 0 khi $x < 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ và f(x) > 0 khi $x > 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}$.
Vậy $\mathop {\min }\limits_{x < 0} f\left( x \right) = - \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + 1 - \frac{2}{{ - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}} = - \frac{1}{2} + 2\sqrt 3 $
So sánh ta thấy $\mathop {\min }\limits_{x \ne 1} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2$.
Vậy M(0;-3) là điểm cần tìm.
|