|
|
$1)\,\,x = 0$ là một nghiệm vì ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^0} = 0 + 1$
Nếu $x > 0\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < 1\\
2x + 1 > 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow (1)$vô nghiệm
Nếu $x < 0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > 1\\
2x + 1 < 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow (1)$ vô nghiệm
Vậy $(1)$ có nghiệm $x = 0$
$2)\,\,{3^x} = x + 5\,\,\, \Leftrightarrow {3^x} - x - 5 = 0$
Đặt $f(t) = {3^x} - x - 5$
$f(x)$là hàm số liên tục trên R; $f(0) = - 4 < 0;\,\,f(2) = 2 > 0;\,\,f( - 5) = \frac{1}{{35}} > 0$
Suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất $1$ nghiệm ${x_1}_{} \in ( - 5,0)$ và nghiệm ${x_2} \in (0,2)$
Vẽ đồ thị các hàm số: $y = {3^x}$ và $y = x + 5$
Đồ thị cho thấy các đường cắt nhau ở hai điểm duy nhất, do đó phương trình chỉ có $2$ nghiệm.
*Chú ý: Có thể chứng minh bằng phương pháp đạo hàm:
$\begin{array}{l}
f'(x) = {3^x}\ln 3 - 1\\
f'(x) = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,{3^x} = \frac{1}{{\ln 3}} < 1\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = {x_0} = {\log _3}\left( {\frac{1}{{\ln 3}}} \right) < 0\\
f'\left( x \right) < 0\,\, \Leftrightarrow x < {x_0}\\
f'\left( x \right) > 0\,\, \Leftrightarrow x > {x_0}
\end{array}$
Hàm số $f(x)$ giảm trong $( - \infty ,{x_0})$và tăng trong $({x_0}, + \infty )$và do đó phương trình có $2$ nghiệm và chỉ có $2$ nghiệm.
$3)$
+$\forall x<2 $ thì $x-2<0$ và $4^x>0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm $\forall x<2$
+Với $x\geq 2 $, xét $f(x)=4^x-x$ có $\Delta=4^x-1>0$ nên $4^x-x>4^2-2$ do đó $4^x>x>x-2$ nên phương trình $(3)$ vô nghiệm $\forall x\geq 2$
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
|