Bài 101490

Question

Giải các phương trình :

$\begin{array}{l} 1)2^x + x - 3 = 0 (1)\\ 2)3^x + 4^x + 12^x = 13^x (2) \end{array}$

score 0 · Answer 1

$1)$
TXĐ: R.
Đặt

$f(x) = {2^x} + x - 3$
Ta có

$f(1) = 0 \Rightarrow x = 1$ là

$1$ nghiệm.
Cho

$x_1>x_2\in R\Rightarrow 2^{x_1}>2^{x_2}\Rightarrow 2^{x_1}+x_1-3>2^{x_2}+x_2-3$

$\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ suy ra hàm f đồng biến trên R.
Khi

$x > 1\,\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} > 2 \Rightarrow {2^x} + x - 3 > 0 \Rightarrow$

$(1)$ vô nghiệm
Khi

$x < 1\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} < 2\,\,\, \Rightarrow {2^x} + x - 3 < 0 \Rightarrow (1)$ vô nghiệm
Vậy

$(1)$ có nghiệm duy nhất

$x = 1$ .

$2)$
Do

$12^x>0$ , chia cả 2 vế phương trình cho

$12^x$ ta được

$\left (\frac{3}{12} \right )^x+\left (\frac{4}{12} \right )^x+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$

$\Leftrightarrow 4^{-x}+3^{-x}+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
Đặt

$f(x)=3^{-x}+4^{-x}+1$ ;

$g(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x$
Xét

$f'(x)=-3^{-x}.\ln3-4^{-x}.\ln4<0\forall x\Rightarrow$ f(x) nghịch biến trên R

$g'(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x.\ln\left (\frac{13}{12} \right )\forall x\Rightarrow$ g(x) đồng biến trên R
Suy ra phương trình

$f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.
Ta có

$f(2)=g(2)\Rightarrow x=2$ là 1 nghiệm của phương trình.
Vậy

$(2)$ có nghiệm duy nhất

$x = 2$

1 Đáp án