|
|
$1)$
ĐK: $3 + 5x - 2{x^2} \ge 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, - \frac{1}{2} \le x \le 3$
Khi đó ta có
$(1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3 + 5x - 2{x^2}} + 3} \right)\left( {1 - 3x{{.5}^{ - x}}} \right) > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{5^x} - 3x > 0$
Đặt $y = \,{5^x} - 3x$. Ta chứng minh : $\min y > 0\,\,\,\,\forall x \in \left[ { - \frac{1}{2},3} \right]$
Ta có
$\begin{array}{l}
y' = {5^x}\ln 5 - 3\\
y' = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{5^x} = \frac{3}{{\ln 5}}\,\,\, \Leftrightarrow x = {x_0} = {\log _5}\left( {\frac{3}{{\ln 5}}} \right)
\end{array}$
Hàm số $y'$tăng nên khi $x$ qua ${x_0}$ thì đổi dấu từ âm sang dương:
Ta có $\min y > 0\,\,\, \Leftrightarrow \frac{3}{{\ln 5}} > 3{\log _5}\left( {\frac{3}{{\ln 5}}} \right)$
$ \Leftrightarrow {\log _5}e > {\log _5}\left( {\frac{3}{{\ln 5}}} \right)\,\,\, \Leftrightarrow e > \frac{3}{{\ln 5}}\,\, \Leftrightarrow \ln 5 > \frac{3}{e}$
Ta có $\frac{3}{e} < 1,2 = \frac{6}{5} = \ln {e^{\frac{6}{5}}} < \ln {3^{\frac{6}{5}}} < \ln 5\,\,\,\,$do $({3^6} < {3^5})$
Do đó $\ln 5 > \frac{3}{e}$. Vậy $\min \,y > 0 \Leftrightarrow y > 0$
Kết luận : nghiệm của $(1)$ là: $\left[ { - \frac{1}{2},3} \right]$
|