|
|
$1)$
TXĐ: R.
Ta chú ý ${x^2} + x + 1 =\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}>0 \forall x$
$(1) \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\log \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
\log \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a)\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
\lg \left( {{x^2} + x + 1} \right) > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(q)
\end{array} \right.$
$(a) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{x^2} + x + 1 < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{x^2} + x < 0
\end{array} \right.$ hệ vô nghiệm
$\begin{array}{l}
(q) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
{x^2} + x + 1 > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
{x^2} + x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
\left[ \begin{array}{l}
x < - 1\\
x > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x < - 1
\end{array}$
Vậy nghiệm của bất phương trình : $x < - 1$
$2)$
TXĐ: R.
+ Xét $x - 1 > 1$:
$\begin{array}{l}
(2)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 1\\
{\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 2\\
{x^2} - 6x + 8 > 0
\end{array} \right.\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x > 4
\end{array}$
+ Xét $0 < x - 1 < 1:$
Ta có :
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 2\\
{\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 2\\
{x^2} - 6x + 8 < 0
\end{array} \right.\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 2\\
2 < x < 4
\end{array} \right.
\Rightarrow
hệ vô nghiệm \\
\end{array}$
+ Xét $x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2$
Bất phương trình trở thành $1 > 1$ không thỏa mãn
+ Xét $x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$
Khi đó $x^2-6x+8\in Z.$
Từ $(2)$ ta thấy , vế trái xác định khi k chẵn vì nếu k lẻ thì vế trái của $(2)$ âm.
Suy ra ${x^2} - 6x + 8 = 2m$
Với $m > 0:x = 3 \pm \sqrt {1 + 2m} $
Giá trị $x = 3 + \sqrt {1 + 2m} >1$ (loại)
Xét $x = 3 - \sqrt {1 + 2m} $
Do $x < 1 \Leftrightarrow 3 - \sqrt {1 + 2m} < 1 \Leftrightarrow m = 2,3,4,5...$
Đảo lại, nếu $m = 2,3,4$ bất phương trình $(2)$ không thỏa mãn.
Nếu $m = 5,6,7...$thì$ (2)$ thỏa.
Vậy ĐS:$\left[ \begin{array}{l}
x > 4\\
x = 3 - \sqrt {1 + 2m}
\end{array} \right.$
Với $m = 5,6,7...$
|