|
|
$1)$ Điều kiện :$x \ne 0$. Xét $2$ trường hợp:
-Nếu $x > 0:$
$\begin{array}{l}
\\
(1) \Leftrightarrow \left( { - 2{{\log }_2}x - 3} \right){\log _2}x \ge 1\\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\log _2^2x + 3{\log _2}x + 1 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le {\log _2}x \le - \frac{1}{2}\\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}$
-Nếu $x < 0$ khi đó $(1)$ xác định $\forall x$ sao cho:
${\log _{\frac{1}{2}}}{x^2} - 3 \in Z \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}{x^2} = 3 + k,\,k \in Z$
$ \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 + k}}$, do $x < 0$ nên $x = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3 + k}}{2}}}$
$(1)$ thỏa mãn $ \Leftrightarrow {x^k} \ge 2 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{k\left( {3 + k} \right)}}{2}}} \ge 2$
• $k $ lẻ không thỏa mãn vì khi đó vế trái âm.
Suy ra $k$ chẵn, và ta có: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{k\left( {3 + k} \right)}}{2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}$
$\Leftrightarrow \frac{k(3+k)}{2}\leq -1\Leftrightarrow k^2+3k+2\leq 0\Leftrightarrow -2\leq k\leq -1\Leftrightarrow k=-2 $ (vì $k$ chẵn )
Từ đó suy ra $x=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
Bất phương trình chỉ có $1$ nghiệm duy nhất là $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$2)$
Điều kiện: $x>0$.
Khi đó lấy logarit cơ số 10 cho 2 vế BPT ta được
$\log(x^{\log^2x+\log x-4})>\log10000$ (do hàm $f(x)=\log x$ đồng biến trên $R^+$)
$\Leftrightarrow (\log^2x+\log x-4)\log x>4$
$\Leftrightarrow \log^3x+\log^2x-4\log x-4>0$
$\Leftrightarrow (\log x+1)(\log^2x-4)>0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \log x>-1\\\log^2x>4 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \log x<-1\\ \log^2x<4 \end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log x>2\\ -2<\log x<-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x>100\\\frac{1}{100}<x<\frac{1}{10}\end{array} \right.$
Vậy BPT đã cho có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{100}<x<\frac{1}{10}\\x>100\end{array} \right.$
|