Bài 101234

Question

Giải các bất phương trình :

$\begin{array}{l} 1)\,{x^{{{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} - 2}} \ge 2\\ 2){x^{{{\log }^2}x + \log x - 4}} > 10000 \end{array}$

score 0 · Answer 1

$1)$ Điều kiện :

$x \ne 0$ . Xét

$2$ trường hợp:

-Nếu

$x > 0:$

$\begin{array}{l} \\ (1) \Leftrightarrow \left( { - 2{{\log }_2}x - 3} \right){\log _2}x \ge 1\\ \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\log _2^2x + 3{\log _2}x + 1 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le {\log _2}x \le - \frac{1}{2}\\ \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array}$

-Nếu

$x < 0$ khi đó

$(1)$ xác định

$\forall x$ sao cho:

${\log _{\frac{1}{2}}}{x^2} - 3 \in Z \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}{x^2} = 3 + k,\,k \in Z$

$\Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 + k}}$ , do

$x < 0$ nên

$x = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3 + k}}{2}}}$

$(1)$ thỏa mãn

$\Leftrightarrow {x^k} \ge 2 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{k\left( {3 + k} \right)}}{2}}} \ge 2$
•

$k$ lẻ không thỏa mãn vì khi đó vế trái âm.
Suy ra

$k$ chẵn, và ta có:

${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{k\left( {3 + k} \right)}}{2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}$

$\Leftrightarrow \frac{k(3+k)}{2}\leq -1\Leftrightarrow k^2+3k+2\leq 0\Leftrightarrow -2\leq k\leq -1\Leftrightarrow k=-2$ (vì

$k$ chẵn )
Từ đó suy ra

$x=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
Bất phương trình chỉ có

$1$ nghiệm duy nhất là

$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$2)$
Điều kiện:

$x>0$ .
Khi đó lấy logarit cơ số 10 cho 2 vế BPT ta được

$\log(x^{\log^2x+\log x-4})>\log10000$ (do hàm

$f(x)=\log x$ đồng biến trên

$R^+$ )

$\Leftrightarrow (\log^2x+\log x-4)\log x>4$

$\Leftrightarrow \log^3x+\log^2x-4\log x-4>0$

$\Leftrightarrow (\log x+1)(\log^2x-4)>0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \log x>-1\\\log^2x>4 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \log x<-1\\ \log^2x<4 \end{array} \right. \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log x>2\\ -2<\log x<-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x>100\\\frac{1}{100}<x<\frac{1}{10}\end{array} \right.$
Vậy BPT đã cho có nghiệm:

$\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{100}<x<\frac{1}{10}\\x>100\end{array} \right.$

Bài 101234

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101234

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan