Bài 101158

Question

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đường cao $SH$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $A$ vuông góc với cạnh bên $SC$. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt $SH$ tại ${H_1}$ mà $S{H_1}:SH = 1:3$ và cắt các cạnh bên $SB, SC, SD$ lần lượt tại $B’, C’, D’$.
$1$. Tính tỉ số diện tích thiết diện $AB’C’D’$ và diện tích đáy hình chóp.
$2$. Cho biết cạnh đáy hình chóp cạnh $a$. Tính thể tích của hình chóp $S.AB’C’D’$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 5:31:41 PM

$1$. Đáy $ABCD$ là hình vuông
$ \Rightarrow BD \bot AC \Rightarrow BD \bot \left( {SACO} \right) \Rightarrow BD \bot SC \Rightarrow BD//\left( \alpha \right) \Rightarrow BD//B'D' \Rightarrow B'D' \bot AC'$

Do tính đối xứng ta có $S_{AB'C'D'} = 2S_{AC'B'} = AC'.B'{H_1}$

$\frac{1}{3}S_{AB'C'D'}.SC' = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {15} }}.\frac{a}{{2\sqrt {15} }} = \frac{{{a^3}}}{{90}}$$S_{ABCD} = 2S_{ABC} = AC.BH$
$ \Rightarrow \frac{S_{AB'C'D'}}{S_{ABCD}} = \frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{B'{H_1}}}{{BH}} = \frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{S{H_1}}}{{SH}} = \frac{1}{3}\sin {\widehat {ACC'}}$

$2$.

Xét tam giác cân $SAC$, có trực tâm ${H_1}$ chia đường cao $SH$ theo tỉ số $S{H_1}:SH = 1:3$
Ta có
$tgC = \frac{{SH}}{{HC}};tgC = tgA = tg {\widehat {H{H_1}C}} = \frac{{HC}}{{H{H_1}}};$

$t{g^2}C = \frac{{SH}}{{HC}}.\frac{{HC}}{{H{H_1}}} = \frac{{SH}}{{H{H_1}}} = \frac{{SH}}{{SH - S{H_1}}} = \frac{{SH/SH}}{{1 - \frac{{S{H_1}}}{{SH}}}} = \frac{1}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}$
$ \Rightarrow \cot {g^2}C = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}C}} = 1 + \cot {g^2}C = \frac{5}{2} \Rightarrow {\sin ^2}C = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin C = \sqrt {\frac{3}{5}} $
Tỉ số diện tích cần tính $\frac{1}{3}\sqrt {\frac{3}{5}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}$
Trong tam giác cân $SAC$, ta có: $SC' = SA.\cos \widehat S = SC.\cos \widehat S = \frac{{HC}}{{\cos C}}.\cos \widehat S = HC.\frac{{c{\rm{os}}\left( {{{180}^0} - A - C} \right)}}{{\cos C}} = HC.\frac{{c{\rm{os}}\left( {{{180}^0} - 2C} \right)}}{{\cos C}}$
Thay số ta được = $\frac{a}{{2\sqrt 5 }}$
Theo câu $1$ ta có $S_{AB'C'D'} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}.S_{ABCD} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}{a^2}$
Do đó hình chóp $S.AB’C’D’$ có thể tích $V = \frac{1}{3}S_{AB'C'D'} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{90}}$(đvdt)

Bài 101158

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101158

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan