Bài 100922

Question

Xác định các giá trị của $a$ để phương trình :
$\sqrt{a(2^x-2)+1}=1-2^x$ $(1)$ có nghiệm và tìm nghiệm

score 0 · Answer 1

+) Tìm a:
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} \le 1\\
a\left( {{2^x} - 2} \right) + 1 = {\left( {1 - {2^x}} \right)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} \le 1\\
{\left( {{2^x}} \right)^2} - \left( {a + 2} \right){2^x} + 2a = 0
\end{array} \right. & \\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - \left( {a + 2} \right)t + 2a = 0 & & \\
0 < t \le 1\\t = {2^x}
\end{array} \right.\left( 2 \right)
\end{array}$
PT $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm thuộc $\left( {0,1} \right]$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 < {t_1} \le 1 \le {t_2} & & \left( a \right)\\
{t_1} < 0 < {t_2} \le 1 & & \left( b \right)\\
0 < {t_1} \le {t_2} \le 1 & & \left( c \right)
\end{array} \right.$ Đặt vế trái của $(2 )$ là $f\left( t \right)$
$(a)$ hoặc $(b)$$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}f(0)f(1)<0\\f(1)=0\end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a(a-1)<0\\a-1=0\end{array} \Leftrightarrow 0<a\leq 1\right. \right. $
$(c)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\triangle \geq 0\\f(0)>0\\f(1)\geq 0\\0<\frac{S}{2}\leq 1\end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}(a-2)^2\geq 0\\a>0\\a\geq 1\\0<\frac{a+2}{2}\leq 1\end{array} \right.\right.$ hệ vô nghiệm
Vậy với $0 < a \le 1$ thì $(1)$ có một nghiệm là $x = {\log _2}a$ ( không có giá trị của $a$ để $(1)$ có $2$ nghiệm)

+) Tính nghiệm:
Nhận xét: nếu giải $(2)$ ta có: $\left[ \begin{array}{l}
t = a\\
t = 2
\end{array} \right.$
$t = 2 \notin \left( {0,1} \right]$ nên bị loại, $t = a$ là nghiệm thỏa điều kiện $ \Leftrightarrow 0 < a \le 1$.
Khi đó
$2^x=a\Leftrightarrow x=log_{2}a$

Bài 100922

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100922

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan