Bài 100906

Question

Tìm các giá trị của $m$ để phương tình sau đây có nghiệm:
$\begin{array}{l}
1) & {4^{x + 1}} - {2^{x + 2}} + m = 0 & & & & \left( 1 \right)\\
2) & {9^x} - m{.3^x} + 2m + 1 = 0 & & & & \left( 2 \right)
\end{array}$

score 0 · Answer 1

$1)$
TXĐ: R.
Đặt $t = {2^x},\,t > 0$
thì ta có $(1)\Leftrightarrow 4t^2-4t+m=0$        $(1')$
Đề bài thỏa mãn khi (1') có nghiệm dương.
$\Delta'=4-m.$
Giả sử (1') có 2 nghiệm $t_1\leq t_2$.
+ Nếu $m=0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t=0 (loai)\\t = 1\end{array} \right.; t=1\Leftrightarrow 2^x=1\Leftrightarrow x=0$
+ Nếu $m<0 ; t_{1}<0<t_{2}\Rightarrow (1')$ có nghiệm dương $t=t_{2}$
+ Nếu $m>0; (1')$ có nghiệm dương $\Leftrightarrow \begin{cases}\triangle '\geq 0\\ P=m>0\Leftrightarrow 0<m\leq 1 \\S=4>0\end{cases}$
Kết hợp các trường hợp vậy PT đã cho có nghiệm khi
$(1')$ có nghiệm dương $\Leftrightarrow m\leq 1$

2)
TXĐ: R.
Đặt : $t=3^x,t>0$
thì ta có $(2)\Leftrightarrow t^2-mt+2m+1=0 (2')$
Đề bài thỏa mãn khi (2') có nghiệm dương.
Ta có $\Delta=m^2-4(2m+1)=m^2-8m-4=(m-4)^2-20.$
Giả sử (1') có 2 nghiệm $t_1\leq t_2$.
+ Nếu $m=0\Rightarrow t^2+1=0$ (vô nghiệm do $t^2+1>0\forall t>0)$
+ Nếu $m<0$, $ (1')$ có nghiệm dương $\Leftrightarrow \begin{cases}\triangle '\geq 0\\S=m<0\end{cases}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (m-4)^2\geq 20\\t_1<0<t_2\\P<0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} m \le 4 - 2\sqrt 5 \\
m \ge 4 + 2\sqrt 5   \end{array} \right.\\ m<-\frac{1}{2} \end{array} \right.$
$\Rightarrow m \le 4 - 2\sqrt 5 .$
+ Nếu $m>0$, $ (1')$ có nghiệm dương $\Leftrightarrow \begin{cases}\triangle '\geq 0\\S=m>0\end{cases} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (m-4)^2\geq 20\\0<t_1<t_2\\P>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} m \le 4 - 2\sqrt 5 \\
m \ge 4 + 2\sqrt 5   \end{array} \right.\\ m>-\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$\Rightarrow m \ge 4 + 2\sqrt 5  $

Kết hợp các trường hợp vậy đề bài thỏa mãn khi $\,\left[ \begin{array}{l}
m \le 4 - 2\sqrt 5 \\
m \ge 4 + 2\sqrt 5
\end{array} \right.$

Bài 100906

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100906

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan