Bài 100884

Question

Cho phương trình: $\cos^3x-\sin^3x=m (1)$
$1$. Giải phương trình khi $m = -1$, bằng cách đặt ẩn phụ $t = \cos x - \sin x$
$2$. Tìm $m$ sao cho phương trình $(1)$ có đúng hai nghiệm $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right]$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 10:18:55 AM

Đặt $t = \cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx = }}\sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
|t| \le \sqrt 2 \\
{t^3} - 3t + 2m = 0
\end{array} \right.$
$1$ . Bạn đọc tự giải.

$2$. Nhận xét: $t {\rm{ = }}\sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)(*)$ với mỗi $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right]$ thỏa mãn $(*)$
Vậy $(1)$ có đúng hai nghiệm $ \in \left[ { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right] \Leftrightarrow {t^3} - 3t + 2m = 0\left( {**} \right)$ có đúng hai nghiệm thuộc$\left[ {0,\sqrt 2 } \right]$
Ta có $(**) \Leftrightarrow 2m = - {t^3} + 3t$.
Xét $f\left( t \right) = - {t^3} + 3t,t \in \left[ {0,\sqrt 2 } \right]$có $f'\left( t \right) = - 3{t^2} + 3$
Ta có bảng biến thiên như hình vẽ:

Từ đó ta có điều kiện phải tìm $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \le 2m \le 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le m < 1$

Bài 100884

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100884

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan