|
|
$1)$ Đặt : $t=2^x, t>0$ Ta có : $t^2-t+a=0$
Phương trình ${4^x} - {2^x} + a = 0$ có nghiệm $ \Leftrightarrow {t^2} - t + a$ có nghiệm dương
• Nếu $a = 0$: phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = 1\,{\rm{(TMDK)}}\,
\end{array} \right.$
• Nếu $a < 0$: ta có $P < 0\, \Rightarrow $phương trình có 2 nghiệm ${t_1} < 0 < {t_2}$(thỏa mãn ĐK)
• Nếu $a > 0:\,\,\Delta = 1 - 4a \ge 0 \Leftrightarrow a \le \frac{1}{4}.\,$Khi đó
$\begin{array}{l}
P = a > 0\\
S = 1 > 0. & {\rm{Suy ra }}0 < {t_1} \le {t_2}
\end{array}$
• $ \Rightarrow $với $0 < a \le \frac{1}{4}$ ta có $2$ nghiệm dương
Vậy với $a \le \frac{1}{4}$ phương trình ${t^2} - t + a = 0$ có nghiệm dương nên phương trình ${4^x} - {2^x} + a = 0$ có nghiệm.
$2)$ Tương tự, đặt $t = {2^x},\,t > 0$ ta có ${t^2} + t + a = 0$
Nếu $a=0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t_{1} = 0\\t_{2}=-1\end{array} (không thoả)\right.$
Nếu :$a<0 \Rightarrow t_{1}<0<_{t_{2}}( thỏa mãn DK)$
Nếu : $a>0,\triangle =1-4a\geq 0 \Leftrightarrow a\leq \frac{1}{4}$
Khi đó $P=a>0 \Rightarrow t_{1}<t_{2}<0 $ Cả $2$ nghệm đều thỏa mãn
$S = - 1 < 0$
Vậy : $a < 0$ thì phương trình có nghiệm
$3)$ Đặt $t = {3^x},\,t > 0$ ta có ${t^2} + at - 1 = 0$ có $2$ nghiệm trái dấu ${t_1} < 0 < {t_2}$ và $P = - 1 < 0$. Vậy phương trình ${9^x} + a{3^x} - 1 = 0$ có nghiệm $\forall a\in R $
$4)$ $\triangle =a^2-4\geq 0\Leftrightarrow |a|\geq 2,P=1$ nên
Nếu : $a\geq 2\Rightarrow S=-a<0\Rightarrow t_{1}\leqslant t_{2}<0$ (không thỏa mãn Đk)
Nếu : $a\leqslant -2\Rightarrow S=-a>0\Rightarrow 0<t_{1}\leqslant t_{2}$ (thỏa mãn Đk)
Vậy $a \le - 2$
|