Bài 100866

Question

Cho $f(x)=\cos^22x+2(\sin x+\cos x)^2-3\sin 2x+m$
$1$. Giải phương trình $f(x) = 0$ khi $m = -3$
$2$. Tính theo $m$ giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(x)$. Từ đó tìm ra $m$ sao cho
$f^2(x)\leq 36, \forall x$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 9:58:02 AM

Ta biến đổi $f\left( x \right) = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x + 2{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)^2} - 3\sin 2x + m$
$ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x + 2{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)^2} - 3\left( {1 + \sin 2x} \right) + m + 3$
$ = - {\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)^2}{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x - 1} \right)^2} + m + 3$

$1$. Khi $m = -3$ thì $ f(x)= - {\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)^2}{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x - 1} \right)^2}$
Đáp số: $x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ;x = 2k\pi ;x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi $

$2$.

Đặt $t=$ ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$ thì$ - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2$ và $f\left( x \right) = - {t^2}{\left( {t - 1} \right)^2} + m + 3 = g\left( t \right)$
$g'\left( t \right) = - 2t\left( {2{t^2} - 3t + 1} \right)$
max $f(x) = m+ 3$, $\min f\left( x \right) = m + 3 - 2{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$
${f^2}\left( x \right) \le 36 \Leftrightarrow - 6 \le f\left( x \right) \le 6 \forall x$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 6 \le m + 3 - 2{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}\\
m + 3 \le 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 9 + 2{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} \le m \le 3$

Bài 100866

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100866

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan