Bài 100813

Question

Cho phương trình: $4{\cos ^5}x.\sin x - 4{\sin ^5}x.\cos x = {\sin ^2}4x + m (1)$
$1$. Biết rằng $x = pi$ là một nghiệm của $(1)$. Hãy giải phương trình $(1)$ trong trường hợp đó
$2$. Cho biết $x = \frac{{ - \pi }}{8}$ là một nghiệm của $(1)$.Hãy tìm tất cả các nghiệm của $(1)$ thỏa mãn: ${x^4} - 3{x^2} + 2 < 0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 8:48:38 AM

$1$. $x = \pi$ là một nghiệm của $(1)$ $ \Leftrightarrow 0 = m\left( {\sin \pi = \sin 4\pi = 0} \right)$
Với $m = 0$: $ \left( 1 \right) \Leftrightarrow 4{\cos ^5}x.\sin x - 4{\sin ^5}x.\cos x = {\sin ^2}4x$
                               $\Leftrightarrow 4\cos x.\sin x\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - {{\sin }^4}x} \right) = {\sin ^2}4x$
                              $ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x = {\sin ^2}4x \Leftrightarrow \sin 4x = {\sin ^2}4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.$

$2$. $x = \frac{{ - \pi }}{8}$ là một nghiệm của $(1)$
$ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8}$ là một nghiệm của $\sin 4x = {\sin ^2}4x + m \Leftrightarrow - 1 = 1 + m \Leftrightarrow m = - 2$
Khi đó $(1)$ $ \Leftrightarrow \sin 4x = {\sin ^2}4x - 2$
                  $\Leftrightarrow {\sin ^2}4x - \sin 4x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = - 1\\
\sin 4x = 2 (loai)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}$

Chọn nghiệm thỏa mãn ${x^4} - 3{x^2} + 2 < 0   \left( 2 \right)$
Ta có $(2)$ $ \Leftrightarrow 1 < {x^2} < 2 \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 2$ hoặc $ - \sqrt 2 < x < - 1$

*$ - \sqrt 2 < x < - 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 < - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2} < - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{\pi } + \frac{1}{4} < k < - \frac{2}{\pi } + \frac{1}{4}$

Vì$\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{\pi } + \frac{1}{4} \approx - 0,65$ và$ - \frac{2}{\pi } + \frac{1}{4} \approx - 0,38$ nên không có số nguyên $k$ nào thỏa mãn.

*$1 < x < \sqrt 2 \Leftrightarrow 1 < - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2} < \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{2}{\pi } + \frac{1}{4} < k < \frac{{2\sqrt 2 }}{\pi } + \frac{1}{4}$

$ \Leftrightarrow k = 1\left( {do\frac{2}{\pi } + \frac{1}{4} \approx 0,88{\rm{ ; }}\frac{{2\sqrt 2 }}{\pi } + \frac{1}{4} \approx 1.15} \right)$$ \Rightarrow x = - \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{8}$

Bài 100813

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100813

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan