Bài 100630

Question

Giải các phương trình :

$\begin{array}{l} 1)\,\,{x^{3 - \lg \frac{x}{3}}} = 900\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,\,{8^{{x^3} - 1}} + {18^{{x^3} - 1}} = {2.27^{{x^3} - 1}}\\ 2)\,\,{49^{\frac{1}{x}}} - {35^{\frac{1}{x}}} = {25^{\frac{1}{x}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\,{4.3^x} - {9.2^x} = {5.6^{\frac{x}{2}}} \end{array}$

score 0 · Answer 1

$1)$
ĐK:

$x>0$ .
Lấy logarit cơ số 10 cho 2 vế, phương trình đã cho tương đương với:

$\log_{10}(x^{3-\log\frac{x}{3}})=\log_{10} 900$

$\Leftrightarrow (3-\log x+\log3)\log x=\log9+2$

$\Leftrightarrow -\log^2x+(3+\log3)\log x=\log9+2$

$\Leftrightarrow \log^2x-(3+\log3)\log x+\log9+2=0(*)$
Ta có

$\Delta_*=(3+\log3)^2-4(\log39+2)$

$=9+6\log3+\log^23-4\log3^2-8$

$=\log^23-2\log3+1=(\log3-1)^2$

$\Rightarrow \log x=\frac{ (3+\log3)\pm(\log3-1) }{2}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log x=\log3+1\\ \log x=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=10^{\log3+1}=30\\ x=10^2=100 \end{array} \right.(TM)$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm

$x = 30;\,\,x = 100$

$2)$
ĐK:

$x\neq 0$ .
Phương trình đã cho tương đương:

$\left ( 7^\frac{1}{x} \right )^2-\left ( 7^\frac{1}{x}\right ).\left (5^\frac{1}{x}\right )=\left (5^\frac{1}{x}\right )^2$ .
Do

$5^\frac{1}{x}>0\forall x$ , chia cả 2 vế của PT trên cho

$(5^\frac{1}{x})^2>0$

$\Rightarrow \left[ { \left (\frac{7}{5}\right )^\frac{1}{x} } \right]^2- { \left (\frac{7}{5}\right )^\frac{1}{x} } -1=0$
Đặt

$\left (\frac{7}{5}\right )^\frac{1}{x}=t (0<t\neq 1)\Rightarrow t^2-t-1=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$

$\Rightarrow x = {\log _{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{7}{5} (TM)$
Vậy PT đã cho có nghiệm

$x = {\log _{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{7}{5}$

$3)$
TXĐ: R
Phương trình đã cho tương đương:

$8^{x^3-1}+2^{x^3-1}.9^{x^3-1}=2.(3^{x^3-1})^3$
Do

$3^{x^3-1}>0\forall x$ , chia cả 2 vế phương trình cho

$(3^{x^3-1})^3$ ta có:

$\left[ {\left (\frac{2}{3}\right )^{x^3-1}} \right]^3+ \left (\frac{2}{3}\right )^{x^3-1}-2=0$ .
Đặt

$\left (\frac{2}{3}\right )^{x^3-1} =t (t>0)$ thì ta có:

$t^3+t-2=0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^2+t+2)=0\Rightarrow t=1(do t^2+t+2=\left (t+\frac{1}{2}\right )^2+\frac{7}{4}>0\forall t>0)$

$\Rightarrow x^3-1=0\Leftrightarrow x=1(TM)$
Vậy PT đã cho có nghiệm

$x = 1$ .

$4)$
TXĐ: R.
Khi đó PT đã cho tương đương:

$4.\left (3^\frac{x}{2}\right )^2-5. 3^\frac{x}{2}. 2^\frac{x}{2}-9.\left ( 2^\frac{x}{2} \right )^2=0$ .
Do

$2^\frac{x}{2} >0\forall x$ nên ta chia 2 vế phương trình trên cho

$2^\frac{x}{2}$ ta có:

$\left[ 4{\left (\frac{3}{2}\right )}^\frac{x}{2} \right]^2-5. \left (\frac{3}{2}\right )^\frac{x}{2}-9=0$ .
Đặt

$t= \left (\frac{3}{2}\right )^\frac{x}{2} >0\forall x$ suy ra

$4t^2-5t-9=0$

$\Leftrightarrow (4t-9)(t+1)=0\Rightarrow t=\frac{9}{4}= \left (\frac{3}{2}\right )^2 (do t>0)$

$\Rightarrow \frac{x}{2}=2\Rightarrow x=4.$
Vậy PT đã cho có nghiệm

$x = 4$ .

Bài 100630

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100630

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan