Bài 100450

Question

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, xét các hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=h$ cho trước, đáy $ABCD$ là tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho mà các đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau.
$1$. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (đi qua tâm điểm của hình chóp)
$2$. Hỏi đáy $ABCD$ là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất $?$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 10:21:18 AM

$1$. Hình chiếu tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ chính là tâm $O$ của đường tròn qua $A, B, C, D$ và $I$ cách đều $S$ và $A$.
Vậy $OI = \frac{1}{2}{\rm{AS}}$ và tam giác vuông $AOI$ vuông góc tại $O$, kéo theo $A{I^2} = {r^2} = A{O^2} + O{I^2} = {R^2} + \frac{{{h^2}}}{4}$
Nên bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp là $r = \sqrt {{R^2} + \frac{{{h^2}}}{{4}}}$

$2$. Thể tích hình chóp $V = \frac{1}{3}{S_d}.h$ (${S_d}$ là diện tích tứ giác $ABCD$). Do $AC \bot BD,{\rm{ }}{{\rm{S}}_d} = \frac{1}{2}AC.BD$
Trong đường tròn, dây cung có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi nó là đường kính, nên
$S \le \frac{1}{2}.2R.2R = 2{R^2}$
$S$ đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow AC, BD$ là hai đường kính vuông góc, tức $ABCD$ là hình vuông.

Bài 100450

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100450

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan