Bài 113216

Question

Với a,b là hai số dương,đặt : $f(x)=\frac{2ax}{x^2+1}-\frac{b}{x+2} $
a) Định a,b để $f(x)=\frac{4x-2}{(x+2)(x^2+1)} $
Với a,b được xác định, tính $ \mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} \int\limits_{0}^{t}f(x)dx $
b)Tìm hệ thức giữa a,b để $\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} \int\limits_{0}^{t}f(x)dx$ tồn tại hữu hạn

score 0 · Answer 1

Xét : $\frac{2ax}{x^2+1}-\frac{b}{x+2}=\frac{4x-2}{(x+2)(x^2+1)} \Rightarrow (2a-b)x^2+4ax-b=4x-2 $
Cân bằng hệ số hai hế :
$x^2| 2a-b=0$
$x^1|4a=4$
$x^0|-b=-2$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=1\\ b=2 \end{array} \right. $
Với a,b vừa tìm được thì :
$\int\limits_{0}^{t}f(x)dx=\int\limits_{0}^{t}(\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2}{x+2} )dx=\int\limits_{0}^{t} \frac{d(X^2+1)}{x^2+1} +2\int\limits_{0}^{t} \frac{d(x+2)}{x+2} $
$=[\ln (x^2+1)-2\ln |x+2|^t_0]=\ln \frac{x^2+1}{(x+2)^2}|^t_0=\ln \frac{4t^2+4}{(t+2)^2} $
Lúc đó :$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty}\int\limits_{0}^{t} f(x)dx=\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty}[\ln \frac{4t^2+4}{(t+2)^2} ]=2\ln 2 (ycbt) $
b)Tổng quát : $I=\int\limits_{0}^{t}f(x)dx=\int\limits_{0}^{t}(\frac{2ax}{x^2+1}-\frac{2}{x+2} )dx $
$\Rightarrow I=[a\ln (x^2+1)-b\ln |x+2|]^t_0=\ln \frac{(t^a+1)^a}{|t+1|^b}+b\ln 2 $
Nên : $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty}\int\limits_{0}^{t}f(x)dx $ tồn tại hữu hạn.
Tồn tại : $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty} \frac{(t^a+1)^a}{|t+1|^b}\in R \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty} \frac{t^{2a}}{|t|^b}\in R$
$ \Rightarrow 2a=b (ycbt)$

Bài 113216

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113216

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan