Bài 113099

Question

Tính : $I=\int\limits_{0}^{1}\frac{\arcsin xdx}{{\sqrt{1+x}} } $

score 0 · Answer 1

Trên $[0;1]$ hàm $f(x)=\frac{\arcsin x}{{\sqrt{1+x}} } $ liên tục nên khả tích Riemann theo nghĩa thông thường:
Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u=\arcsin x \Rightarrow du=\frac{dx}{{\sqrt{1-x^2}} } \\ dv=\frac{dx}{{\sqrt{1+x} } } \Rightarrow v=2 {\sqrt{1+x}} \end{array} \right.;\forall x \in [0;1] $
Lúc đó : $I=2 {\sqrt{1+x}}\arcsin x|^1_0-2 \int\limits_{{\sqrt{1+x}}dx }^{{\sqrt{1-x^2}} } (1)$
Xét hàm : $g(x=\frac{{\sqrt{1+x}} }{{\sqrt{1-x^2}} } ),$ liên tục trên nửa đoạn $[0;1]$ nhưng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}g(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1+x}{1-x^2}=+\infty $.Nên hàm $g$ khả tích Riemann theo nghĩa suy rộng trên đoạn $[0;1]$
$(1) \Rightarrow \pi {\sqrt{2}}-2 \mathop {\lim }\limits_{c \to -1}(\int\limits_{0}^{c}\frac{{\sqrt{1+x}} dx}{{\sqrt{1-x^2}} } )=\pi {\sqrt{2}}+2\mathop {\lim }\limits_{c \to -1} (\int\limits_{0}^{c}\frac{dx}{{\sqrt{1-x}} } ) $
$=\pi {\sqrt{2}}+2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (\int\limits_{0}^{c}\frac{d(1-x)}{{\sqrt{1-x}} } )=\pi {\sqrt{2}}+2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2 {\sqrt{1-x}}|^c_0 ) $
$=\pi {\sqrt{2}}+4 \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({\sqrt{1-c}}-1 )=\pi {\sqrt{2}}-4 $

Bài 113099

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113099

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân từng phần

Lý thuyết liên quan