Bài 113088

Question

Tính tích phân : $I=\int\limits_{-1}^{1}(e^{x^2}\sin x+e^xx^2)dx $

score 0 · Answer 1

Xét : $I=\int\limits_{-1}^{1}(e^{x^2}\sin x+e^xx^2)dx=\int\limits_{-1}^{1}e^{x^2}\sin xdx+\int\limits_{-1}^{1}e^xx^2dx $
Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u=e^{x^2} \Rightarrow du= 2xe^{x^2}dx\\ dv =\sin xdx \Rightarrow v=-\cos x \end{array} \right. $ và $\left\{ \begin{array}{l} u_1=x^2 \Rightarrow du_1=2xdx\\ dv_1=e^xdx \Rightarrow v_1=e^x \end{array} \right. $

$\Rightarrow I=(-e^{x^2}\cos x|_{-1}^{1}+\int\limits_{-1}^{1}2xe^{x^2}\cos xdx )+(x^2e^x|_{-1}^{1}-\int\limits_{-1}^{1}2xe^xdx )$
Để ý : $g(x)=2xe^{x^2}\cos x \Rightarrow g(-x)=-g(x):g(x)$ lẻ trong $(-1;1)$
$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}2xe^{x^2}\cos xdx=0 $
(Thật vậy: Đặt $x=-t \Rightarrow dx=-dt$
$\int\limits_{0}^{1}g(x)dx=-\int\limits_{0}^{-1}g(-t)dt =-\int\limits_{-1}^{0}g(t)dt=- \int\limits_{-1}^{0}g(x)ds $
(vì $g$ là hàm lẻ)
$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}g(x)dx=\int\limits_{-1}^{0}g(x)dx +\int\limits_{0}^{1}g(x)dx=0$)
Lại đặt : $(Trong \int\limits_{-1}^{2}2xe^xdx ):\left\{ \begin{array}{l} u_2=2x \Rightarrow du_2=2dx\\ dv_2=e^x \Rightarrow v_2=e^x \end{array} \right. $
$\Rightarrow I=-e^{x^2}\cos x|_{-1}^{1}+x^2e^x|_{-1}^{1}-2xe^x|_{-1}^{1}+2\int\limits_{-1}^{1}e^xdx=x^2e^x|_{-1}^{1}-2xe^x|_{-1}^{1}+2e^x|_{-1}^{1} $
$=(e-e^{-1})-(2e+2e^{-1})+2e-2e^{-1}=e-\frac{5}{e}=\frac{e^2-5}{e} (ycbt)$

Bài 113088

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113088

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân từng phần

Lý thuyết liên quan