Bài 113040

Question

Tính tích phân : $I=\int\limits_{0}^{a}x^2 {\sqrt{x^2+a^2}}dx (a>0) $

score 0 · Answer 1

Xét : $I=\int\limits_{0}^{a}x^2 {\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int\limits_{0}^{a}(x^2+a^2-a^2){\sqrt{x^2+a^2}}dx $
              $=\int\limits_{0}^{a}(x^2+a^2)^{\frac{3}{2} }dx-\int\limits_{0}^{a}a^2 {\sqrt{x^2+a^2}}dx=I_1-I_2      (1)$
Tính : $I_1=\int\limits_{0}^{a}(x^2+a^2)^{\frac{3}{2} }dx$
Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u=(x^2+a^2)^{\frac{3}{2} }\Rightarrow du=\frac{3}{2}{\sqrt{x^2+a^2}}(2x)dx=3x {\sqrt{x^2+a^2}}dx   \\ dv=dx             \Rightarrow v=x \end{array} \right. $
Lúc đó : $I_1=x(x^2+a^2)^{\frac{3}{2} }|_{0}^{a}-3\int\limits_{0}^{a}x^2 {\sqrt{x^2+a^2}}dx=a(a^2+a^2)^{\frac{3}{2} }-3I=2 {\sqrt{2}}a^4-3I   (2) $
Tính : $I_2=a^2\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}}dx $
Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u_1={\sqrt{x^2+a^2}} \Rightarrow du_1=\frac{xdx}{{\sqrt{x^2+a^2}} } \\ dV_1=dx \Rightarrow v_1=x \end{array} \right. $
Lúc đó : $I_2=a^2x{\sqrt{x^2+a^2}} |^a_0-a^2 \int\limits_{0}^{1}\frac{x^2+a^2-a^2}{{\sqrt{x^2+a^2}} }dx   $
$={\sqrt{2}}a^4-a^2 \int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}} dx+a^4 \int\limits_{0}^{a}\frac{dx}{{\sqrt{x^2+a^2}} }    $
$={\sqrt{2}}a^4-I_2+a^4\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} )_0^a=\frac{{\sqrt{2}} }{2}a^4+\frac{1}{2}a^4\ln (1+{\sqrt{2}} ) (3) $
Từ $(1),(2) và (3) \Rightarrow I=I_1-I_2=2 {\sqrt{2}}a^4-3I-\frac{{\sqrt{2}} }{2}a^4-\frac{1}{2}a^4\ln (1+{\sqrt{2}} )   $
$=\frac{a^4[3 {\sqrt{2}}-\ln (1+{\sqrt{2}} ) ]}{8} (ycbt)$

Bài 113040

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113040

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân từng phần

Lý thuyết liên quan