Bài 112981

Question

Cho tam giác $ABC,$ cạnh $a.$ Từ trung điểm $I$ của cạnh $BC$, ta kẻ $Ix$ vuông góc với mặt phẳng $( ABC)$ và lấy trên đó một điểm $D$ sao cho $ID=IA.$
Tính :
a) Góc hợp bởi hai mặt phẳng $(DAB)$ và $(ABC).$
b) Góc hợp bởi hai mặt phẳng $(ADB)$ và $(ADC.)$
c) Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(ADB).$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/23/2012 5:25:13 PM

a) Từ $I$ kẻ $IK \bot AB.$ Sử dụng định lí ba đường vuông góc , ta chứng minh được $DK \bot AB.$
    $\left. \begin{array}{l}
IK \bot AB\\
DK \bot AB
\end{array} \right\} \widehat{DIK}$
là góc giữa hai mặt $ ( DAB)$ và $ ( ABC ) $
Dễ thấy $IK = \frac{ 1}{ 2}CM = \frac{a \sqrt{3} }{ 4} $
    $\tan \widehat{DIK} =\frac{IK }{ ID} =2$
$\Rightarrow \widehat{DIK} \approx 63^0.26'$

b) Nối $B , C$ với trung điểm $H$ của $AD$, ta chứng minh được $BH \bot DA$ và $CH \bot DA$
$\Rightarrow \widehat{CHB} $ là góc giữa hai mặt phẳng $(DCA)$ và $(DAB)$. Từ $DI=AI=\frac{ 2 \sqrt{3} }{ 2} $.
Ta tính ra $IH = \frac{ a \sqrt{6} }{ 4} $
$\Rightarrow \tan \widehat{BHI} =\frac{ IB}{ IH} =\frac{ \sqrt{6} }{ 3} \approx 2 \widehat{BHI} $
$\Rightarrow \widehat{CHB \approx 78^0.24'} $
c) Do $AD \bot ( BHC) \Rightarrow ( ADB) \bot (BHC).$ Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến $HB$ nên nếu kẻ $IJ \bot HB \Rightarrow IJ \bot ( ADB)$
Trong tam giác vuông $(BIH)$ với $IB =\frac{ a}{ 2}, IH = \frac{ a \sqrt{6} }{ 4} $ ta tính được $IJ = \frac{a \sqrt{15} }{ 10} $
d) Ta có $DA \bot (BHC) \Rightarrow (BHC) \bot (ADB).$ Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến $BH.$ Trong mặt phẳng $(BHC)$ kẻ $IJ \bot BH \Rightarrow IJ \bot (ADB) \Rightarrow IJ$ là khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(ADB)$.
Trong tam giác vuông $HIB$ với $IB = \frac{ a}{ 2} ; IH = \frac{ a \sqrt{6} }{ 4} $ ta tính được $IJ=\frac{ a \sqrt{42} }{ 14} $.

Bài 112981

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112981

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan