Bài 112952

Question

Tìm $m$ để phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$: $ \sin ^mx + \cos ^m x=1$

score 0 · Answer 1

Đặt $f(x) = \sin ^m x + \cos ^mx $, khi đó yêu cầu bài toán được phát biểu dưới dạng :
      $ f(x) = 1, \forall x \Leftrightarrow \begin{cases}f'(x) = 0 , \forall x           (1) \\ f \left ( \frac{\pi}{4} \right ) =1    (2) \end{cases} $
Giải (1) ta được :
      $m.\cos x.\sin ^{m-1}x - m \sin x.\cos ^{m-1}x = 0, \forall x$
      $\Leftrightarrow m. \sin x . \cos x(\sin ^{m-2}x - \cos ^{m-2}x) = 0, \forall x $
      $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
{\sin ^{m - 2}}x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{m - 2}}x,\forall x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.$
Ta xét từng trường hợp của $m$ để giải (2) :
* Với $m=0$, ta được :
      $f \left ( \frac{\pi}{4} \right ) = \left ( \frac{\sqrt{2} }{2}   \right )^0 + \left ( \frac{\sqrt{2} }{2} \right )^0 = 2 $ (không thỏa mãn)
* Với $m = 2$, ta được :
      $ f \left ( \frac{\pi}{4} \right ) = \left ( \frac{\sqrt{2} }{2} \right )^2 + \left ( \frac{\sqrt{2} }{2} \right )^2 = 1 $( thỏa mãn)
Vậy với $m= 2$ phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.

Bài 112952

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112952

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan