Bài 112693

Question

Cho hàm số : $y= \frac{ \sin x + 2 \cos x +3}{ 2 \sin x+\cos x +3}.$ Tìm $max y , min y.$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/20/2012 2:43:02 PM

Xét phương trình : $2 \sin x +\cos x +3=0 \Leftrightarrow 2 \sin x + \cos x =-3   (1)$ là phương trình dạng $a \cos x + b \sin x =c$ có nghiệm khi và chỉ khi $c^2 \leq a^2 + b^2.$
Ở đây : $c^2= 9 > a^2+b^2=4+1=5.$ Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm tức là không có giá trị nào của $x$ để : $2 \sin x + \cos x +3=0$ cho nên tập xác định của hàm số là $R.$
Gọi $y_0$ là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số trên $R.$ Khi đó phương trình $y_0 = \frac{ \sin x +2 \cos x +3}{ 2 \sin x + \cos x +3} $ có nghiệm.
      $\Leftrightarrow 2 y _0 \sin x + y_0 \cos x +3 y_0 = \sin x + 2 \cos x +3$ có nghiệm
      $\Leftrightarrow (2 y_0 -1) \sin x +(y_0 -2) \cos x =3 - 3 y_0   (2)$
Phương trình $(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi: $(3-3 y_0)^2 \leq (2 y_0 -1)^2 + (y_0 -2)^2$
       $\Leftrightarrow 4 y_0^2 -10 y_0 +4 \leq 0    \Leftrightarrow \frac{ 1}{ 2} \leq y_0 \leq 2$
Vậy trong $R:$ tập giá trị của hàm số là $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$ nên :
             $\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_R y =2$   đạt được khi $\sin x =-1$
       $\Leftrightarrow x=\frac{- \pi}{ 2} +2k\pi$
             $\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_R y =\frac{ 1}{ 2} $ đạt dược khi $\cos x =-1$
       $\Leftrightarrow x=-\pi + 2k\pi$

Bài 112693

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112693

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan