Bài 112316

Question

Cho đường thẳng $(d)$ và Hypebol $(H)$ có phương trình:
$(d):x+y-3=0, (H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
a. Nhận xét gì về vị trí tương đối của $(d)$ và $(H)$, từ đó có thể khẳng định được rằng " với mọi $M\in (d)$ luôn kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến tới $(H)$"
b. Tìm các điểm $M$ thuộc $(d)$ sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới $(C)$.

score 0 · Answer 1

a.
Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (H), suy ra:
$(d) \cap (H)=\left\{ {A(3,0),B\left (\frac{39}{5},-\frac{24}{5} \right )} \right\}$
Do đó không thể kết luận "với mọi $M\in (d)$ luôn kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến tới $(H)$", bởi điểm $M\in (d)$ có hoành độ $x_M$ thỏa mãn:
+ $3<x_M<\frac{39}{5}$, không kẻ được một tiếp tuyến nào tới (H).
+ $x_M=3$ hoặc $x_M=\frac{39}{5}$, kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (H)
+ $x_M<3$ hoặc $x_M>\frac{39}{5}$, luôn kẻ được hai tiếp tuyến tới (H).

b.
M thuộc d nên tọa độ là $M(m;3-m)$
Dễ thấy tiếp tuyến không có hệ số góc không thể là tiếp tuyến của hypebol.
Giả sử 2 tiếp tuyến cần tìm là
$k(x-m)-(y-3+m)=0$
và $-\frac{1}{k}(x-m)-(y-3+m)=0.$ với $a^2+b^2>0.$
Do là tiếp tuyến của $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ nên hệ sau được thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l} 9^2.k^2-4^2=(-km+3-m)^2\\\frac{9^2}{(-k)^2}-4^2=(m-\frac{m}{k}-3)^2\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 81k^2-16=(-km+3-m)^2\\81-16k^2=(mk-m-3k)^2\end{array} \right.$
Giải hệ được $m=1$ hoặc $m=2$
Ta có hai điểm $M_1(2,1), M_2(1,2)$.

Bài 112316

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112316

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan