Bài 112219

Question

Chứng minh rằng phương trình:

$5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 = 0$ có bốn nghiệm âm phân biệt.

score 2 · Answer 1

Xét hàm số

$f(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24$

$f(x)$ liên tục trên

$R$ .
Ta có:

$f(-4)=24, f(-3)=-6, f(-2)=4, f(-1)=-6, f(0)=24$

$f(-4).f(-3)=-144<0 \Rightarrow$ phương trình

$f(x)=0$ có nghiệm thuộc

$(-4; -3)$ .

$f(-3).f(-2)=-24<0 \Rightarrow$ phương trình

$f(x)=0$ có nghiệm thuộc

$(-3; -2)$ .

$f(-2).f(-1)=-24<0 \Rightarrow$ phương trình

$f(x)=0$ có nghiệm thuộc

$(-2; -1)$ .

$f(-1).f(0)=-144<0 \Rightarrow$ phương trình

$f(x)=0$ có nghiệm thuộc

$(-1; 0)$ .
Các khoảng

$(-4;-3); (-3;-2); (-2;-1); (-1;0)$ là các khoảng rời nhau nên hàm số có 4 nghiệm âm phân biệt.

score 1 · Answer 2

Xét

$f(x) = 5x^4 + 40 x^3 + 105x^2 + 100x + 24, x \in R$

$\Rightarrow F(x) = \int\limits_{0}^{x}f(t)dt = x^5 + 10x^4+ 35x^3+50x^2+24x$

$= x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$
khả vi trên

$R$ và thỏa :

$F(-4)=F(-3)=F(-2)=F(-1)=F(0)=0$
Do đó, theo định lí Lagrange lần lượt trên các đoạn:

$[-4;-3],[-3;-2];[-2;-1],[-1;0].$
Ta dễ dàng thấy rằng phương trình

$F'(x) = 0$ có bốn nghiệm phân biệt

$x_1,x_2,x_3,x_4$ thỏa

$-4<x_1<-3<x_2<-2<x_3<-1<x_4 <0$
vậy phương trình

$f(x)=0$ có bốn nghiệm âm phân biệt

2 Đáp án