Bài 112205

Question

Tam giác $ABC$ có $3$ cạnh $a ,b ,c $ nội tiếp trong đường tròn bán kính $R=1.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn là $a^2 + b^2+c^2>8 (1)$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/16/2012 5:16:53 PM

$(1) \Leftrightarrow 4R^2 \sin ^2 A+4R^2 \sin ^2 B + 4 R^2 \sin ^2 C >8$
Do $R=1 \Leftrightarrow \sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2C >2$
Trước hết chứng minh:
         $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2 \cos A \cos B \cos C (*)$
Tam giác $ABC$ nhọn khi và chỉ khi $P=2+2 \cos A \cos B \cos C >2$
         $\Leftrightarrow \cos A \cos B \cos C >0 (1)$
+ Chứng minh mệnh đề $1$: Nếu $\Delta ABC$ nhọn thì $(1)$ đúng.
Theo giả thiết: $\Delta ABC$ nhọn tức góc $A , B , C$ nhọn nên $\left\{ \begin{array}{l}
\cos A > 0\\
\cos B > 0\\
\cos C > 0
\end{array} \right.$
vậy $(1)$ đúng.
+ Chứng minh mệnh đề $2$:
Nếu $(1)$ đúng thì $\Delta ABC$ nhọn.
Do $(1)$ đúng thì có $2$ trường hợp.
TH$1$: Trong $3$ thừa số $\cos A, \cos B , \cos C$ có $2$ thừa số âm, thừa số còn lại dương. Trường hợp này không xảy ra bởi vì nếu xảy ra thì $\Delta ABC$ có $2$ góc tù. Điều này vô lý. Vì $\Delta ABC$ có không quá $1$ góc tù.
TH$2$: Cả $3$ thừa số đều dương, tức $\left\{ \begin{array}{l}
\cos A > 0\\
\cos B > 0    \Leftrightarrow A , B , C nhọn \\
\cos C > 0
\end{array} \right.$
Vậy bài toán được chứng minh.
Tương tự - Tam giác $ABC$ tù khi và chỉ khi $P <2$
              -   Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $P=2$

(Chứng minh (*):

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\frac{1-\cos2A}{2}+\frac{1-\cos2B}{2}+\sin^2C$

$=2-\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B)-\cos^2C=2+\cos C\cos(A-B)-\cos^2C$

$=2+\cos C[\cos(A-B)+\cos(A+B)]=2+2\cos A\cos B\cos C$)

Bài 112205

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112205

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan