Bài 112178

Question

Chứng minh rằng :
$C^0_nS_n - C^1_nS_{n-1}+C^2_nS_{n-2}+...+ (-1)^{n-1}C^{n-1}_nS_1 = \frac{(-1)^{n-1}}{n} với S_n = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{i}}, n \in N$

score 0 · Answer 1

Ta có : $ (x-1)^n = x^n - C^1_nx^{n-1}+C^2_nx^{n-2}-...+C^n_n(-1)^n$                  (1)
Cho $ x=1 \Rightarrow 0 = 1 -C^1_n+C^2_n-...+C^n_n(-1)^n$                                (2)
$(x-1)^n = (x^n-1)-C^1_n(x^{n-1}-1) + C^2_n(x^{n-2}-1)+...$
                                                             $+...+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n(x-1)$                (3)
Với $x \neq 1$, chia hai vế (3) cho $x-1 \neq 0$ ta được :
$(x-1)^{n-1}= (x^{n-1} + x^{n-2}+...+x+1)-C^1_n(x^{n-2} + x^{n-3}+...+x+1)+$
                                     $+...+(-1)^n C^{n-2}_n(x+1)+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n$              (4)

(Rõ ràng đẳng thức cuối này vẫn còn đúng với $x=1$)

Tiếp theo, ta lấy tích phân hai vế đẳng thức (4) từ $ 0 \rightarrow 1 $, ta được :
$\frac{(-1)^{n-1}}{n}= S_n - C^1_nS_{n-1}+C^2_nS_{n-2}+...+(-1)^{n-2}S_2+(-1)^{n-1}C^n_nS_1$

Bài 112178

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112178

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan