Bài 112010

Question

Hai đỉnh của một khối $8$ mặt đều cho trước gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối $8$ mặt đều.
Chứng minh rằng trong khối $8$ mặt đều:
a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.
c) Ba đường chéo bằng nhau.

score 0 · Answer 1

Giả sử $SABCDS_1$ là khối $8$ mặt đều.
a) Nhận xét rằng:
$BA=BC \Rightarrow B$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AC$.
$DA=DC \Rightarrow D$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AC$.
$SA=SC \Rightarrow S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AC$.
$S_1A=S_1C \Rightarrow B$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AC$.
Từ đó suy ra $B,D,S,S_1$ đồng phẳng và tứ giác $SBS_1D$ là hình thoi nên $SS_1$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (giả sử $O$).
Chứng minh tương tự, ta có: $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy, ba đường chép của khối $8$ mặt đều cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.(đpcm)
b) Từ kết quả câu a), vì $SBS_1D$ và $ABCD$ là hình thoi nên các đường chéo vuông góc với nhau.(đpcm)
c) Ta có:
$\Delta SAC=\Delta BAC$ (c.c.c) $\Rightarrow SO=BO$ (1)
$\Delta SBD=\Delta ABD$ (c.c.c) $\Rightarrow SO=AO$ (2)
Từ đó suy ra $AC=BD=SS_1$.(đpcm).

Bài 112010

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112010

1 Đáp án

Liên quan

PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN. CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA MẶT PHẲNG VÀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Lý thuyết liên quan