Lấy điểm $A \in (P)$ và $A' \in (P')$ và gọi $I$ là trung điểm của $AA'$.
a) Mọi phép tịnh tiến $T$ theo vectơ $\overrightarrow {v}=\overrightarrow {AA'}$ đều biến $(P)$ thành $(P')$.
Vì có vô số vectơ $\overrightarrow {v}$ nên có vô số phép tịnh tiến biến $(P)$ thành $(P')$.
b) Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $I$ và song song với mặt phẳng $(P)$, khi đó phép đối xứng qua mặt phẳng $(Q)$ sẽ biến $(P)$ thành $(P')$.
Thật vậy, lấy $M$ tùy ý thuộc $(P)$ và gọi $M'$ là ảnh của $M$ qua $Đ_{(Q)}$, ta có:
$MM' \bot (Q)$ tại $M_0$ là trung điểm của $MM'$.
Khi đó, ta có:
$\frac{IA}{IA'}=\frac{M_0M}{M_0M'}=1$
$\Leftrightarrow A'M', AM,IM_0$ theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song song.
$\Rightarrow M' \in (P')$
Vì mặt phẳng $(Q)$ là duy nhất nên có duy nhất một phép đối xứng qua mặt phẳng biến $(P)$ thành $(P')$.
c) Phép đối xứng tâm $I$ sẽ biến $(P)$ thành $(P')$.
Thật vậy, lấy $M$ tùy ý thuộc $(P)$ và gọi $M'$ là ảnh của $M$ qua $Đ_{(I)}$, ta có:
$\Delta MAI=\Delta M'A'I'$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{MAI}=\widehat{M'A'I'}$
$\Rightarrow A'M' //AM \Rightarrow M' \in (P')$
Vì có vô số điểm $I$ nên có vô số phép đối xứng tâm biến $(P)$ thành $(P')$.
d) Gọi $(d)$ là đường thẳng qua $I$ và song song với $(P)$, khi đó phép đối xứng qua đường thẳng $(d)$ biến $(P)$ thành $(P')$.
Thật vậy, lấy $M$ tùy ý thuộc $(P)$ và gọi $M'$ là ảnh của $M$ qua $Đ_{(a)}$, ta có:
$MM' \bot (d)$ tại $M_0$ là trung điểm của $MM'$.
Khi đó, ta có:
$\frac{IA}{IA'}=\frac{M_0M}{M_0M'}=1$
$\Leftrightarrow A'M', AM,IM_0$ theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song song.
$\Rightarrow M' \in (P')$
Vì có vô số đường thẳng $(d)$ (mọi đường thẳng trong mặt phẳng $(Q)$ ) nên có vô số phép đối xứng trục biến $(P)$ thành $(P')$.