Bài 111812

Question

Tính các tích phân sau :
a) $R = \int\limits_{1}^{\sqrt{3} } x^2 \arctan xdx$ b) $T = \int\limits_{\sqrt{2} }^{\sqrt{5} } \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1} }dx.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/13/2012 1:49:28 PM

a) Đặt $ \begin{cases}u = \arctan x \\ dv =x^2dx\end{cases}    \Rightarrow   \begin{cases}du = \frac{dx}{1+x^2} \\ v = \frac{x^3}{3} \end{cases}$
$ R= \frac{x^3}{3}\arctan x\left| \begin{array}{l}
\sqrt 3 \\
1
\end{array} \right. - \frac{1}{3} \int\limits_{1}^{\sqrt{3} } \frac{x^3}{1+x^2}dx = \sqrt{3}.\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}.\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{\sqrt{3} }\left ( x-\frac{x}{1+x^2} \right )dx$
$= \frac{\sqrt{3} }{3}\pi -\frac{\pi}{12}-\frac{1}{3}[\frac{x^2}{2} -\frac{1}{2} \ln (1+x^2)]\left| \begin{array}{l}
\sqrt 3 \\
1
\end{array} \right. = \frac{(4\sqrt{3}-1)\pi }{12} -\frac{1}{3}\left ( 1-\frac{1}{2} \ln 4 +\frac{1}{2} \ln 2 \right )$
$= \frac{(4\sqrt{3}-1)\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\ln 2.$

b) Đặt $\begin{cases}u=x^2 \\ dv=\frac{xdx}{\sqrt{x^2-1} } \end{cases}    \Rightarrow      \begin{cases}du = 2xdx \\ v = \sqrt{x^2-1} \end{cases} $
$T = x^2\sqrt{x^2-1}\left| \begin{array}{l}
\sqrt 5 \\
\sqrt 2
\end{array} \right.x\sqrt{x^2-1}dx = 8- [ \frac{2}{3}\sqrt{(x^2-1)^3}]\left| \begin{array}{l}
\sqrt 5 \\
\sqrt 2
\end{array} \right.$
     $= 8 - \frac{14}{3} = \frac{10}{3}.$

Bài 111812

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111812

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân từng phần

Lý thuyết liên quan