Bài 111790

Question

Tính các tích phân sau :

a) $I = \int\limits_{0}^{1} \frac{(x^2+1)e^x}{(x+1)^2}dx$ b) $J = \int\limits_{1}^{2} \frac{\ln (x+1)}{x^2}dx.$

score 0 · Answer 1

a) Đặt $t = x+1 \Rightarrow dt = dx$

Đổi cận :

$ I = \int\limits_{1}^{2} \frac{t^2-2t+2}{t^2}.e^{t-1}dt = \int\limits_{1}^{2} \left ( 1 - \frac{2}{t} + \frac{2}{t^2} \right ) e^{t-1}dt$
    $= \int\limits_{1}^{2}e^{t-1} +\frac{2}{e}\int\limits_{1}^{2}\left ( \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t}   \right )e^tdt \equiv (e^{t-1} \left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right. + \frac{2}{e}.K= e - 1 + \frac{2}{e}.K$
Đặt $ \begin{cases}u = e^t \\ dv = \frac{dt}{t^2} \end{cases}   \Rightarrow     \begin{cases}du = e^tdt \\ v= -\frac{1}{t} \end{cases}     $
$\Rightarrow \int\limits_{1}^{2} \frac{e^t}{t^2}dt = - \left ( \frac{e^t}{t} \right )\left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right. + \int\limits_{1}^{2} \frac{e^t}{t}dt = e - \frac{e^2}{e}+ \int\limits_{1}^{2}\frac{e^t}{t}dt$
$\Rightarrow K = \int\limits_{1}^{2}\left ( \frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}   \right )e^tdt = e - \frac{e^2}{2}$
Vậy $ I = e -1 + \frac{2}{e} \left ( e-\frac{e^2}{2} \right )   = e -1 + 2 -e =1.$

b) Đặt $\begin{cases}u=\ln (x+1) \\ dv= \frac{dx}{x^2} \end{cases}     \Rightarrow     \begin{cases}du = \frac{dx}{x+1} \\ v=-\frac{1}{x} \end{cases} $
$\Rightarrow J = \left ( 1\frac{1}{x}\ln (x+1) \right )\left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right. + \int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{x(x+1)}= -\frac{1}{2} \ln 3 + \ln 2 + \left ( \ln \frac{x}{x+1} \right )\left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right. $
           $= \ln 2 -\frac{1}{2} \ln 3 + \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{8}{3\sqrt{3} }.$

Bài 111790

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111790

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân từng phần

Lý thuyết liên quan