|
|
a) Ta có : $\frac{\sin 2a}{2\sin a}=\cos a (1)$
Thay $a$ trong $(1)$ lần lượt $\frac{x}{2}, \frac{x}{2^2},..., \frac{x}{2^n}$. Ta nhân vế với vế các đẳng thức(dạng$ (1)$) đó và đơn giản ta được; $A_n=\frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n} } $
b) Ta có: $(2\cos a -1)(2\cos a+1)= 4\cos ^2 a -1 =2(1+\cos 2a)-1$
$=1+2\cos 2a$, với $1+2\cos 2a \neq 0$ khi $a\neq \pm \frac{2\pi}{3}=k2\pi $
Do đó: $2\cos a -1 = \frac{2\cos 2a+1}{2 \cos a+1} (1) $
Thay $a$ lần lượt bằng $x, 2x, ..., 2^{n-1}x, 2^n x$ vào $(1)$ ta được $n$ đẳng thức.
Nhân vế với vế $n$ đẳng thức ấy và đơn giản, ta sẽ được:
$P_n=\frac{2\cos 2^{n-1}x+1}{2\cos x+1} $ với $x\neq \pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi $
c) Ta có: $\frac{1}{\sin 2a}=\cot a -\cot 2a (1)$
(Chứng minh (1) hết sức dễ dàng)
Thay $a$ lần lượt bằng $x, 2x, ..., 2^{n-1} x$ vào (1) ta được $n$ đẳng thức. Cộng vế với vế $n$ đẳng thức đó và đơn giản, ta sẽ được: $S_n=\cot x - \cot 2^n x$
|