Bài 111711

Question

Cho ba đường tròn

$(O_{1}; R_1)$ ,

$(O_{2}; R_2)$ và

$(O_{3};R_3)$ đôi một tiếp xúc ngoài tại

$A,B,C$ . Dây

$AC$ kéo dài của

$(O_{1})$ gặp

$(O_{3})$ tại

$A_{1}$ . Vẽ đường kính

$A_{1}A_{2}$ của

$(O_{3})$ . Chứng minh rằng

$A,B,A_{2}$ thẳng hàng.

score 0 · Answer 1

Xét phép vị tự tâm

$C$ , tỉ số

$k=-\frac{R_1}{R_3}$ . Ta có:

$VT(C; -\frac{R_1}{R_3} ): A_1 \mapsto A; A_2 \mapsto M; \overrightarrow{A_1A_2} \mapsto \overrightarrow{AM}$
Vậy

$\overrightarrow{AM}=-\frac{R_1}{R_3}\overrightarrow{A_1A_2}$
* Xét phép vị tự

$VT(A; -\frac{R_2}{R_1} )$
Ta có:

$M \mapsto N; AM \mapsto AN$
Vậy

$\overrightarrow{AN}=-\frac{R_2}{R_1} \overrightarrow{AM}$
* Xét phép vị tự

$VT(B; -\frac{R_3}{R_2} )$
Ta có:

$A \mapsto B_2; N \mapsto B_1; \overrightarrow{AN} \mapsto \overrightarrow{B_2B_1}$
Vậy

$\overrightarrow{B_2B_1}=-\frac{R_3}{R_2}\overrightarrow{AN}$

$\Rightarrow \overrightarrow{B_2B_1}=(-\frac{R_3}{R_2} )(-\frac{R_2}{R_1} )(-\frac{R_1}{R_3} )\overrightarrow{A_1A_2}=-\overrightarrow{A_1A_2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{A_1A_2} (1)$
Mà

$B_1B_2$ và

$A_1A_2$ đều là các dây cung của

$(O_3), A_1A_2$ là đường kính của

$(O_3)$ nên từ

$(1)$ ta có:

$A_1 \equiv B_1, A_2 \equiv B_2$ .
Mà

$A, B, B_2$ thẳng hàng (

$B_2$ là ảnh của

$A$ cho bởi phép vị tự tâm

$B$ ).
Suy ra

$A, B, A_2$ thẳng hàng.

1 Đáp án