Bài 111499

Question

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$; tâm $O,SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{6} $
$a.$ Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến $mp(SBC)$
$b.$ Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến $mp(SBC)$
$c.$ Dựng và tính đoạn vuông góc chung của các đường thẳng :
$SB$ và $CD$
$SC$ và $BD$
$d.$ Dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $SC,AD$

score 0 · Answer 1

$a.$ Hai mặt phẳng $(SAB),(SBC)$ vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $SB.$Kẻ $AH\bot SH\Rightarrow AH\bot (SBC)$
$\Rightarrow AH$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ với $SA=a\sqrt{6} ,AB=a$
Ta tính được
$AH=\frac{a\sqrt{42} }{7} $
$b.$ Gọi $K$ là trung điểm của $HC$ ta có $OK//AH$
Do $AH\bot (SBC)$ nên $OK\bot (SBC)\Rightarrow OK$ là khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(SBC)$
Dễ thấy $OK=\frac{1}{2} AH\Rightarrow OK=\frac{a\sqrt{42} }{14} $
$c.$ Đoạn vuông góc chung của $SB,CD$ là $BC=a$
Từ $O$ kẻ $OI\bot SC$
Dễ thấy $BD\bot (SAC)\Rightarrow BD\bot OI$
$\Rightarrow OI$ là đoạn vuông góc chung của $SC,BD$
Ta có $SC^2=SA^2+AC^2$ với $SA=a\sqrt{6} $ và $AC=a\sqrt{2} $
Ta tính được $SC=2a\sqrt{2} $
$\Delta SAC$ đồng dạng $\Delta OIC$
$\Rightarrow \frac{OI}{SA}=\frac{OC}{SC} $
Với $SC=2a\sqrt{2},OC=\frac{a\sqrt{2} }{2} ,SA=2\sqrt{6} $ ta tính ra $OI=\frac{a\sqrt{6} }{4} $
$d.$ Mặt phẳng $(SBC)$ là mặt phẳng đi qua $SC$ và song song với $AB$.Từ $A$ kẻ $AH\bot SB$.Mặt phẳng $(ADH)$ là mặt phẳng qua $AD$ và vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, mặt phẳng $(ADH)$ cắt $SC$ ở điểm $E$.Từ $E$ dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$, đường thẳng này cắt $AD$ ở $F$
$EF$ chính là đoạn vuông góc chung của $SC$ và $AD$
Thực tế, ta dựng $EF$ như sau :
- Trong tam giác $ASB$, kẻ đường cao $AH\bot SB$
- Qua $H$ kẻ đường song song với $AD$, cắt $SC$ ở $E$
- Qua $E$ kẻ đường song song với $AH$ các $AD$

Bài 111499

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111499

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan