Bài 111439

Question

Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$.Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $BB'$ và $A'C'$.Điểm $K$ thuộc $B'C'$ sao cho $\overrightarrow {KC'}=-2.\overrightarrow {KB'}$.
Chứng minh rằng bốn điểm $A,I,J,K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

score 0 · Answer 1

Giải
Đặt $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {AA'},\overrightarrow {b}=\overrightarrow {AB},\overrightarrow {c}=\overrightarrow {AC}$
Ta lần lượt có:
$\overrightarrow {AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AB'})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AA'})$
$=\frac{1}{2}(2\overrightarrow {b}+\overrightarrow {a})$ (1)
$\overrightarrow {AJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AA'}+\overrightarrow {AC'})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AA'}+\overrightarrow {AA'}+\overrightarrow {AC})$
$=\frac{1}{2}(2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c})$ (2)
$\overrightarrow {AK}=\overrightarrow {AC'}+\overrightarrow {C'K}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AA'}-\overrightarrow {KC'})$ (3)
$\overrightarrow {AK}=\overrightarrow {AB'}+\overrightarrow {B'K}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AA'}-\overrightarrow {KB'})$ (4)
Từ (3) và (4),suy ra:
$3.\overrightarrow {AK}=\overrightarrow {AC}+2.\overrightarrow {AB}+3.\overrightarrow {AA'}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AK}=\frac{1}{3}(\overrightarrow {c}+2.\overrightarrow {b}+3.\overrightarrow {a})$ (5)
Từ (1),(2) và (5),suy ra:
$\overrightarrow {AK}=\frac{2}{3}(\overrightarrow {AI}+2.\overrightarrow {AJ} \Leftrightarrow \overrightarrow {AK},\overrightarrow {AI},\overrightarrow {AJ}$ đồng phẳng.
Vậy bốn điểm $A,I,J,K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Bài 111439

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111439

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan